Matematické Fórum

nejsemfyzik123 · 29. 04. 2018 10:00

Ahoj,
Mám dotaz ohledně tohoto příkladu:

$L \subseteq R^4$ má bázi:

$a_{1} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$
$a_{2} = \begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$

Mám najít matici ortogonální projekce do tohoto podprostoru, a to buď původní bází nebo ortogonalizací.

Vůbec nemám tušení, jak to udělat, tyhle postupy neznám. Můžete mi prosím poradit?

Předem díky!

laszky · 29. 04. 2018 16:09 — Editoval laszky (29. 04. 2018 16:57)

Ahoj. Nejdriv bych si sestrojil namisto vektoru $\boldsymbol{a}_2$ vektor $\widehat{\boldsymbol{a}}_2$ , ktery bude lezet ve stejnem podprostoru $L$ , ale bude navic kolmy k $\boldsymbol{a}_1$ . Takovy vektor ziskam ortogonalizaci:

Chci, aby platilo

$\widehat{\boldsymbol{a}}_2 = p\,\boldsymbol{a}_1+q\,\boldsymbol{a}_2$
$\widehat{\boldsymbol{a}}_2\cdot\boldsymbol{a}_1=0$

Z cehoz ziskam $p |\boldsymbol{a}_1|^2 + q \boldsymbol{a}_2\cdot\boldsymbol{a}_1 = 0$ , takze $p=-q\,\frac{\boldsymbol{a}_2\cdot\boldsymbol{a}_1}{ |\boldsymbol{a}_1|^2}$ a po dosazeni

$\widehat{\boldsymbol{a}}_2 = q\left(\boldsymbol{a}_2-\frac{\boldsymbol{a}_2\cdot\boldsymbol{a}_1}{ |\boldsymbol{a}_1|^2}\boldsymbol{a}_1\right)$

Cislo $q\neq0$ si muzeme zvolit libovolne (napr. aby mel vysledny vektor jednotkovou normu, nebo abychom tam nemeli zlomky), takze v tomto pripade zvolme $q=\frac{1}{2}$ , potom

$\widehat{\boldsymbol{a}}_2 = \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{a}_2-\frac{\boldsymbol{a}_2\cdot\boldsymbol{a}_1}{ |\boldsymbol{a}_1|^2}\boldsymbol{a}_1\right)1 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}3 \\0\\ -1\\ 2\end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 \\0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\0\\ -1\\ 1\end{pmatrix}$

Nasledne predpokladam, ze mam celou ortogonalni bazi prostoru $\mathbb{R}^4$ tvorenou vektory $(\boldsymbol{a}_1,\widehat{\boldsymbol{a}}_2,\boldsymbol{a}_3,\boldsymbol{a}_4)$ , ve ktere mohu libovolny vektor $\boldsymbol{v}$ vyjadrit jako linearni kombinaci

$\boldsymbol{v} = \alpha_1\,\boldsymbol{a}_1+\alpha_2\,\widehat{\boldsymbol{a}}_2+\alpha_3\,\boldsymbol{a}_3 +\alpha_4\,\boldsymbol{a}_4$ .

Hledana matice ortogonalni projekce na prostor L musi pak splnovat

$\mathbb{P}_L\boldsymbol{v} = \alpha_1\,\boldsymbol{a}_1+\alpha_2\,\widehat{\boldsymbol{a}}_2$

Hledejme proto koeficienty $\alpha_1$ a $\alpha_2$ . To je ovsem lehke, nebot mame ortogonalni bazi, a tedy

$\boldsymbol{a}_1\cdot\boldsymbol{v} = \alpha_1\,|\boldsymbol{a}_1|^2$ a $\widehat{\boldsymbol{a}}_2\cdot\boldsymbol{v} = \alpha_2\,|\widehat{\boldsymbol{a}}_2|^2$ , a proto

$\mathbb{P}_L\boldsymbol{v} = \frac{\boldsymbol{a}_1\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{a}_1|^2}\,\boldsymbol{a}_1+\frac{\widehat{\boldsymbol{a}}_2\cdot\boldsymbol{v}}{|\widehat{\boldsymbol{a}}_2|^2}\,\widehat{\boldsymbol{a}}_2 = \left[\frac{1}{|\boldsymbol{a}_1|^2}\boldsymbol{a}_1\boldsymbol{a}_1^T + \frac{1}{|\widehat{\boldsymbol{a}}_2|^2}\widehat{\boldsymbol{a}}_2\widehat{\boldsymbol{a}}_2^T\right]\boldsymbol{v}$ , a tedy