Matematické Fórum

Jikol · 29. 04. 2018 19:10

Dobrý den,
potřeboval bych poradit, jak co nejefektivněji zjistit předpis pro n-tý člen geometrické (nebo aritmetické) posloupnosti.
U jednoduchých poslupností, jako jsou třeba násobky nebo mocniny čísel 2 a 3, kdy lze vidět ta posloupnost na první pohled to lze napsat přímo.
Ale u složitějších trochu složitějších posloupností, jako je třeba
$a_{1}=-1, a_{2}=3, a_{3}=15, a_{4}=51$ , kdy je předpis
$a_{n}=2\cdot3^{n-1}-3$ to já osobně na první pohled nevidím.
Je tady nějaký rychlý způsob, jak z dostatečného množství čísel z řady určit předpis?
Děkuji

sjaustirni · 29. 04. 2018 20:07

Pre prvých pár členov si skúsiš dosadiť ďalšie členy podľa definície. Teda pri aritmetickej si zistíš d a dosadíš pre ďalší člen. Pri geometrickej urobíš to isté s q. Podľa toho či sedí postup s d alebo q si potom vieš ľahko vytvoriť prepis pre aritmetickú resp. geometrickú postupnosti.

Problém nastane len vtedy, keď daná funkcia nie je ani aritmetická ani geometrická postupnosť, ako napríklad tá, ktorú si uviedol vo svojom príspevku.

Jikol · 29. 04. 2018 20:17

Proč to není ani aritmetická a ani geometrická posloupnost? Kvůli té -1? (Ten vzorec pro n-tý člen jsem si vymyslel)

sjaustirni · 29. 04. 2018 20:21

Nie, nie kvôli -1.
Pozri si definície aritmetickej a geometrickej postupnosti. Myslíš si že naozaj tvoja funkcia zodpovedá ich šablóne?

Pozri si vzorce čo platia pre AP a GP. vyskúšaj ich na členoch tvojej postupnosti. sedia tie strany rovníc?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jikol · 29. 04. 2018 20:47 — Editoval Jikol (29. 04. 2018 20:50)

Vyzkoušel jsem vzorec pro vztah mezi dvěma členy:
$a_{s}=a_{r}\cdot q^{s-r} -> 15=15$
pro 3 a 15 z té řady.
Qocient je 5, což mi také vyšlo:
$a_{n+1}=a_{n}\cdot q -> 15=3q$
Nevím tedy, podle čeho to není posloupnost.

vlado_bb · 29. 04. 2018 21:19

↑ Jikol: Ak by bol kvocient $5$ , tak by muselo byt splnene $\frac 3{-1}=5$ , co ale nie je. Ani $\frac{51}{15}$ nie je $5$ .

Jikol · 29. 04. 2018 21:29

Jo, takže si ověřit vždy diferenci, nebo qocient na více členech, protože mi to může náhodou vyjít pro dva za sebou jdoucí členy ale pro ostatní to už neplatí.

vlado_bb · 29. 04. 2018 21:31

↑ Jikol: Pre dva po sebe iduce cleny vyjde VZDY nejaka "diferencia" a nejaky "kvocient". Overit si to treba nie na viacerych clenoch, ale na VSETKYCH.

Jikol · 29. 04. 2018 21:32

Mohl by mi poté někdo říct postup, jakým by určil zápis pro n-tý člen posloupnosti:
$a_{1}=2, a_{2}=6, _{3}=18,a_{4}=54$ ?

Jikol · 29. 04. 2018 21:33

↑ vlado_bb: Ano, myslel jsem to tak, aby se alespoň dvě diference nebo qocienty rovnaly.

vlado_bb · 29. 04. 2018 21:35

↑ Jikol: Dve by samozrejme nestacili, musia sa rovnat vsetky podiely pri geometrickej postupnosti a vsetky rozdiely pri aritmetickej. Ide o nekonecne vela dvojic, to je ti dufam jasne.

vlado_bb · 29. 04. 2018 21:36

↑ Jikol: Ak mas dane prve 4 cleny postupnosti, ten dalsi moze byt akekolvek cislo. Ibaze by sme o tej postupnosti mali este dalsie informacie.

sjaustirni

Ešte raz sa pozri na tie vzorce. Ani to nemôže byť geometrická postupnosť lebo tam máš , pričom GP má tvar

Nehovoriac o tom že tie vzorce ti nefungujú.

Aspro1 · 30. 04. 2018 21:11

U těch zde uvedených posloupností bych si všiml diferencí, tam vidím určitou zákonitost.

sjaustirni · 30. 04. 2018 21:36

Áno, z diferencií (4, 12, 36) sa dá odvodiť "kostra" vzorca (3^n) a následne ho už len doplniť aby to vychádzalo.

Pointa ale bola že OP sa pýtal na GP a AP a ako príklad uviedol postupnosť, ktorá nebola ani jedno.

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2018 19:10

Geometrická posloupnost

#2 29. 04. 2018 20:07

Re: Geometrická posloupnost

#3 29. 04. 2018 20:17

Re: Geometrická posloupnost

#4 29. 04. 2018 20:21

Re: Geometrická posloupnost

#5 29. 04. 2018 20:47 — Editoval Jikol (29. 04. 2018 20:50)

Re: Geometrická posloupnost

#6 29. 04. 2018 21:19

Re: Geometrická posloupnost

#7 29. 04. 2018 21:29

Re: Geometrická posloupnost

#8 29. 04. 2018 21:31

Re: Geometrická posloupnost

#9 29. 04. 2018 21:32

Re: Geometrická posloupnost

#10 29. 04. 2018 21:33

Re: Geometrická posloupnost

#11 29. 04. 2018 21:35

Re: Geometrická posloupnost

#12 29. 04. 2018 21:36

Re: Geometrická posloupnost

#13 29. 04. 2018 22:07 — Editoval sjaustirni (29. 04. 2018 22:09)

Re: Geometrická posloupnost

#14 30. 04. 2018 21:11

Re: Geometrická posloupnost

#15 30. 04. 2018 21:36

Re: Geometrická posloupnost

Zápatí