Matematické Fórum

jakubkoval

Zdravím,

Dokáž, že pre $\forall$ n $\in$ N platí 15/(n^6-n^2).

Asi by som to vedel dokázať cez deliteľnosť 5 a 3 (n= 3k, 3k+1, 3k+2 ; n= 5k, 5k+1, 5k+2..), ale to mi príde ako veľmi zdĺhavý proces, neviete niekto, ako tento dôkaz možno zjednodušiť?

Vďaka za váš čas!

sqrt(211) · 05. 05. 2018 11:48

Úplně jsem nepochopil, co znamená 15/(n^6-n^2), chybí mi tam znak typu $=,\le, \ge ,\in$ ...

MichalAld · 05. 05. 2018 11:49

No, mě napadá ten vztah trochu rozložit, jako že:

$(n^6 - n^2) = (n^3 - n)(n^3+n) = n (n^2-1)n(n^2+1)=n^2(n+1)(n-1)(n^2+1)$

Dělitelnost 3 je pak zřejmá, z těc prvních 3 členů, dělitelnost 5 pro čísla typu 5k+2 a 5k-2 zajišťuje asi ten poslední člen, ale musí se to ještě dokázat.

jakubkoval · 05. 05. 2018 11:54

↑ sqrt(211):

Znamená to, že výraz (n^6-n^2) je deliteľný 15, ak n patrí do N. a treba to dokázať pre všetky n

jakubkoval · 05. 05. 2018 12:02

↑ MichalAld:

Wau, tak toto by mi skutočne nenapadlo, pôvodne som si to rozložil len na n^2*(n^4+-1),
ale Váš postup je jednoduchší a elegantnejší, už sa mi to podarilo aj dokázať! :)
Ďakujem veľmi pekne!

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2018 11:28 — Editoval jakubkoval (05. 05. 2018 11:29)

Deliteľnosť 15

#2 05. 05. 2018 11:48

Re: Deliteľnosť 15

#3 05. 05. 2018 11:49

Re: Deliteľnosť 15

#4 05. 05. 2018 11:54

Re: Deliteľnosť 15

#5 05. 05. 2018 12:02

Re: Deliteľnosť 15

Zápatí