Matematické Fórum

forbidden403

Dobrý den, zajímalo by mně jak spočítat maximální rychlost onoho tělesa, pokud znám jeho hmotnost a výkon (motoru) , který pohání to ono těleso. pokud bych chtěl zanedbat všechny ostatní parametry jako je odpor vzduchu, nebo tření, velikost pneumatik, apod.
PS: A pokud bych to chtěl přizpůsobit na auto, které neznámé do vzorce musel připojit ? Nehledě na to, že auta jsou zpřevodovaná, tak netuším jak to spočítat. Pokud mám motor s výkonem 143kW, hmotnost tělesa (auta) 1950Kg. Tak jakou maximální rychlost může vyvinout po ose X (je jedno jakou vzdálenost bude muset kvůli tomu překonat) . Pohyb po ose Y je nulový, žádné klesání či stoupání.

Děkuji za jakékoliv názory.

MichalAld · 04. 05. 2018 19:55

Rychlost je omezena jen rychlostí světla. Pokud zanedbáš všechny ostatní vlivy, teda.

zdenek1 · 04. 05. 2018 20:13

↑ forbidden403:
Takže velmi zjednodušeně.
Pokud by výkon byl konstantní (což samozřejmě není), práce motoru se přeměňuje na kinetickou energii (zanedbáváš odpor vzduchu a tření)
tj. při běžných rychlostech bude platit $Pt=\frac12mv^2\ \Rightarrow \ \sqrt{\frac{2Pt}{m}}$
Takže skutečně omezené jen rychlostí světla (a dobou, než ti dojde benzín)

forbidden403

To: MichalALd
Tam už je ale hmotnost nekonečná, pokud vím. Já mám známou hmotnost i výkon. A dejme tomu, že se pohybuje v atmosféře u nás na zemi. Našel jsem na googlu pár podobných příkladů, například počítali maximální rychlost vozidla se známým výkonem, hmotností a úhlu stoupání. (je to jeden z prvních výsledků na googlu při hledání podobných příkladů), ale pokud jsem se to pokusil použít pro počítání toho co bych chtěl já, nějak mi to vůbec nevycházelo :D Proto se ptám nyní profíků zde.

otázka není za účelem nějaké domácí úholy, nebo pracovního oboru. Je to čistě ze zajímavosti, že bych to rád věděl. Jakákoliv odpověď a názor na věc je vítána. Děkuji.

edison · 04. 05. 2018 20:17

Z údajů hmotnost a výkon určit rychlost v závislosti na čase. Dodáváním výkonu roste kinetická energie a tím stoupá rychlost. V našem případě energie roste o 143 kJ za každou sekundu.

Takže máme energii z výkonu a času E = P.t

a máme vzorec pro energii z hmotnosti a rychlosti E = 1/2.m.V^2

Stačí to převést na v = ...

Pokud ale počkáme moc dlouho, aby rychlost nabyla relativistických hodnot, začne s reálná rychlost za spočítanou zaostávat, bude se muset použít relativistický výpočet, který zohlední, že i energie něco váží. Pak skončíme u toho, že za nekonečně dlouho se rychlost nekonečně přiblíží k rychlosti světla.

----
V reálném autě jsou 2 základní omezující faktory:
1. Maximální otáčky motoru, převodový poměr a obvod kol. Z toho vyjde teoretická "bezeztrátová" rychlost.
2. Výkon motoru, odpor vzduchu a odpor vozovky.

MichalAld · 04. 05. 2018 21:53

zdenek1 napsal(a):
↑ forbidden403:
Takže velmi zjednodušeně.
tj. při běžných rychlostech bude platit $Pt=\frac12mv^2\ \Rightarrow \ \sqrt{\frac{2Pt}{m}}$

A při jakýchkoliv rychlostech bude platit
$Pt = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0c^2$

Pokud jsem počítal správně, tak to vychází

$v = c \frac{\sqrt{(Pt)^2 + 2Ptm_0c^2}}{Pt + m_0c^2}$

Pro t=0 vychází v = 0,
Pro hodnotu Pt mnohem menší než klidová energie mc^2 to vede na klasický vztah (v čitateli zanedbáme to (Pt)^2 a ve jmenovateli to Pt,

$v = \sqrt\frac{2Pt}{m_0}$

Pro velmi vysoká Pt se to blíží rychlosti světla c, takže by to mohlo být i správně.

MichalAld · 04. 05. 2018 22:02

forbidden403 napsal(a):
To: MichalALd
Tam už je ale hmotnost nekonečná, pokud vím. Já mám známou hmotnost i výkon.

Hmotností se nemusíš zabývat ... navíc já řekl, že jediné omezení je rychlost světla, tj že té už není možné dosáhnout (měl jsem za to že je všeobecně známé jak to s rychlostí světla je).

forbidden403 napsal(a):
A dejme tomu, že se pohybuje v atmosféře u nás na zemi.

Řekls "všechno zanedbat", tak jakápak atomosféra?

forbidden403 napsal(a):
Našel jsem na googlu pár podobných příkladů,

Podobných ovšem nemusí nutně znamenat stejných.
Odpovídám jen na to, na co ses zeptal, nejsem čtenář myšlenek, abych odpovídal i na to, co jsi ve skutečnosti myslel.

forbidden403 napsal(a):
například počítali maximální rychlost vozidla se známým výkonem, hmotností a úhlu stoupání

To je ale dost podstatný rozdíl, jestli má jet auto do kopce, nebo né.
Když má jet do kopce, tak na to potřebuje energii

$P = Fv = mgv \sin \alpha$

$v= \frac{P}{ mg \sin \alpha}$

I z tohoto vzorce je vidět, že pro nulový úhel dává nekonečnou rychlost (je to nerelativistický vztah, takže pro vysoké rychlosti není správný).

sqrt(211) · 05. 05. 2018 11:39

Na to stačí základní newtonovská fyzika - pokud bude na auto motor působit silou, dejme tomu konstantní, a hmotnost auta se nebude měnit, bude motor autu udělovat konstantní zrychlení. A auto přestane zrychlovat pouze tehdy, pokud mu přestaneš udělovat zrychlení, tedy zmenšíš sílu, kterou motor na auto působí.
To samozřejmě platí, pokud zanedbáme všechny ostatní faktory.

Asi nejdůležitější faktor je odpor vzduchu - odporová síla totiž roste s druhou mocninou rychlosti a auto přestane zrychlovat ve chvíli, kdy se tato síla vyrovná se silou, kterou působí motor.

Další věc je, že při konstatním výkonu nebude motor působit konstantní tahovou silou. Tato síla se bude stále snižovat, protože:
$P=\frac{W}{t}=\frac{F\cdot s}{t} \Rightarrow F=\frac{P\cdot t}{s}=\frac{P}{v}$

Ale pozor, tahová síla se bude blížit k nule asymptoticky, takže při dostatku času by při zanedbání všech odporových sil auto rychlosti světla stejně dosáhlo.

MichalAld · 05. 05. 2018 11:53

↑ sqrt(211):
Mícháš dohromady Newtonovu a relativistickou fyziku, a to určitě není dobrý přístup.

Pokud zůstaneme u Newtona, tak se rychlost "asymptoticky" blíží nekonečnu (a rychlost světla není ničím specifická).

MichalAld

MichalAld napsal(a):
$v = c \frac{\sqrt{(Pt)^2 + 2Ptm_0c^2}}{Pt + m_0c^2}$

Ten vztah vypadá dost složitě, ale část složitosti jsme si vytvořili sami, když jsme se rozhodli, že budeme měřit délky v metrech, a né v sekundách. Pokud bychom to udělali "správně", bude rychlost bezrozměrná konstantna v rozsahu <0;1> a vzorec bude o něco jednodušší (vypadnou všechna "céčka").

Dále můžeme součin Pt označit jako dodanou energii E, a hmotnost tělesa jako klidovou energii E0.
Povšiměme si rovněž, že když používáme naši přirozenou jednotku pro měření délek ((světelnou) sekundu), tak mezi hmotností a energií není žádný rozdíl.

Takže vztah se nám zjednodušší na (připomínám ještě jednou, že uvažujeme c=1)

$v = \frac{\sqrt{E^2 + 2EE_0}}{E + E_0}$

Pro malé dodané energie (ve srovnání s tou klidovou), tedy pro E << E0, dostaneme

$v = \frac{\sqrt{2EE_0}}{ E_0}=\sqrt \frac{2E}{ E_0}$

Pro velké dodané energie, E >> E0, dostaneme

$v = \frac{\sqrt{E^2}}{E} =1$

Větší rychlost než 1 nemůžeme dosáhnout, ať už dodáme energii jakou chceme.
Připomínám, že v=1 je rychlost světla, v přirozených jednotkách.

Matematické Fórum

#1 04. 05. 2018 19:40 — Editoval forbidden403 (04. 05. 2018 20:08)

Maximální rychlost tělesa při známém výkonu a hmotnosti

#2 04. 05. 2018 19:55

Re: Maximální rychlost tělesa při známém výkonu a hmotnosti

#3 04. 05. 2018 20:13

Re: Maximální rychlost tělesa při známém výkonu a hmotnosti

#4 04. 05. 2018 20:15 — Editoval forbidden403 (04. 05. 2018 20:15)

Re: Maximální rychlost tělesa při známém výkonu a hmotnosti

#5 04. 05. 2018 20:17

Re: Maximální rychlost tělesa při známém výkonu a hmotnosti

#6 04. 05. 2018 21:53

Re: Maximální rychlost tělesa při známém výkonu a hmotnosti

zdenek1 napsal(a):

#7 04. 05. 2018 22:02

Re: Maximální rychlost tělesa při známém výkonu a hmotnosti

forbidden403 napsal(a):

forbidden403 napsal(a):

forbidden403 napsal(a):

forbidden403 napsal(a):

#8 05. 05. 2018 11:39

Re: Maximální rychlost tělesa při známém výkonu a hmotnosti

#9 05. 05. 2018 11:53

Re: Maximální rychlost tělesa při známém výkonu a hmotnosti

#10 05. 05. 2018 12:04 — Editoval MichalAld (05. 05. 2018 12:06)

Re: Maximální rychlost tělesa při známém výkonu a hmotnosti

MichalAld napsal(a):

Zápatí