Matematické Fórum

dbarvik · 05. 05. 2018 14:19

Zdravím,
mám rovnici
$y'=A\cdot y$
kde A je matice
$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 2 \\1 & 0 & 2 \\-2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$
Počítali jsme to nějak pomocí vlastních čísel matice, jenomže jsem to vůbec nepobral a nevím si rady jak dojít k výsledku.

laszky · 05. 05. 2018 15:29 — Editoval laszky (16. 07. 2022 15:37)

↑ dbarvik:

Ahoj, predpokladam, ze kdyby cela rovnice byl v 1D a A byla konstanta, urcite bys prisel na to, ze reseni je

$y(x)=\mathrm{e}^{Ax}y(0)$ .

Podobne je tomu i tady, jen jde o to spocitat $\mathrm{e}^{Ax} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^nx^n}{n!}$ . To je samozrejme obtizne, pokud ma matice A ten tvuj tvar. Ale je to pomerne jednoduche, pokud by matice A byla diagonalni. U diagonalnich matic $\mathbb{M}=\mathrm{diag}\{m_1,m_2,\dots,m_k\}$ totiz plati

$\mathbb{M}^n = \left(\mathrm{diag}\{m_1,m_2,\dots,m_k\}\right)^n = \mathrm{diag}\{m_1^n,m_2^n,\dots,m_k^n\}$

a proto

$\mathrm{e}^\mathbb{M} = \mathrm{diag}\{\mathrm{e}^{m_1},\mathrm{e}^{m_2},\dots,\mathrm{e}^{m_k}\}$ ,

takze se jen pouzije exponencialni funkce na jednotlive prvky diagonaly. A tady je duvod, proc se pouzivaji ta vlastni cisla. Pokud jsou vlastni cisla matice A ruzna, potom lze matici A rozlozit na tvar

$\mathbb{A}=\mathbb{P}\cdot\Lambda\cdot\mathbb{P}^{-1}$ ,

kde $\mathbb{P}$ je vhodna regularni matice a $\Lambda$ je diagonalni matice s vlastnimi cisly na diagonale. Pak plati

$\mathbb{A}^2=\Bigr(\mathbb{P}\cdot\Lambda\cdot\mathbb{P}^{-1}\Bigr)\Bigr(\mathbb{P}\cdot\Lambda\cdot\mathbb{P}^{-1}\Bigr) = \mathbb{P}\cdot\Lambda\cdot\Bigr(\mathbb{P}^{-1}\cdot\mathbb{P}\Bigr)\cdot\Lambda\cdot\mathbb{P}^{-1} = \mathbb{P}\cdot\Lambda^2\cdot\mathbb{P}^{-1}$ , a proto

$\mathbb{A}^n=\mathbb{P}\cdot\Lambda^n\cdot\mathbb{P}^{-1}$ a taky

$\mathrm{e}^{\mathbb{A}}=\mathbb{P}\cdot\mathrm{e}^{\Lambda}\cdot\mathbb{P}^{-1}$ .

No a to je uz celkem dobre pocitatelne. Matice $\Lambda$ je proste diagonalni matice s vlastnimi cisly matice A na diagonale a matice $\mathbb{P}$ je matice jejiz sloupce jsou tvoreny vlastnimi vektory matice A. (Ve stejnem poradi, v jakem jsou vlastni cisla na diagonale matice $\Lambda$ ).

V tomto pripade je tedy

[mathjax] {\displaystyle \mathbb{A} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\cr 1 & 1 & 1\cr \frac{-1-i}{2} & \frac{i-1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-i&0&0\cr 0&i&0 \cr 0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac{1}{2}+i & -\frac{i}{2} & i\cr \frac{1}{2}-i & \frac{i}{2} & -i\cr -1 & 1 & 0\end{pmatrix} } [/mathjax]

[mathjax] {\displaystyle \mathrm{e}^{\mathbb{A}x} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\cr 1 & 1 & 1\cr \frac{-1-i}{2} & \frac{i-1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\mathrm{e}^{-ix}&0&0\cr 0&\mathrm{e}^{ix}&0 \cr 0&0&\mathrm{e}^{x}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac{1}{2}+i & -\frac{i}{2} & i\cr \frac{1}{2}-i & \frac{i}{2} & -i\cr -1 & 1 & 0\end{pmatrix} } [/mathjax]

[mathjax] {\displaystyle \mathrm{e}^{\mathbb{A}x}=\begin{pmatrix}2\, \mathrm{sin}\left( x\right) +\mathrm{cos}\left( x\right) & -\mathrm{sin}\left( x\right) & 2\,\mathrm{sin}\left( x\right) \cr 2\, \mathrm{sin}\left( x\right) +\mathrm{cos}\left( x\right) -{{e}^{x}} & {{e}^{x}}-\mathrm{sin}\left( x\right) & 2\, \mathrm{sin}\left( x\right) \cr \frac{1}{2}(\mathrm{cos}\left( x\right)-{e}^{x}- 3\, \mathrm{sin}\left( x\right) ) & \frac{1}{2}({e}^{x}-\mathrm{cos}\left( x\right) +\mathrm{sin}\left( x\right)) & \mathrm{cos}\left( x\right) -\mathrm{sin}\left( x\right) \end{pmatrix} } [/mathjax],

kde jsme vyuzili toho, ze $\mathrm{e}^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ . Je videt, ze se imaginalrni jednotky "vyrusily", a proto

$\boldsymbol{y}(x) = \mathrm{e}^{\mathbb{A}x}\cdot\boldsymbol{y}(0)$ .

Poznamka: Pokud jsou vlastni cisla realna, casto se jako reseni uvadi $\boldsymbol{y}(x) = \mathbb{P}\cdot\mathrm{e}^{\Lambda x}\cdot\boldsymbol{c}$ , kde konstantni vektor $\boldsymbol{c}=\mathbb{P}^{-1}\cdot\boldsymbol{y}(0)$ se musi dopocitat podle pocatecnich podminek. Jak je videt, jedna se o stejne reseni (jen nemusis pocitat $\mathbb{P}^{-1}$ pokud neni treba pocitat $\boldsymbol{c}$ ).