Matematické Fórum

damib · 08. 05. 2018 16:06

Ahoj,
mám problém transformovat do polárních souřadnic následující zadání.
$\int_{}^{}\int_{M}^{}dxdy$
$x^{2}+y^{2}\le y$ $y\ge x$ $x\ge 0$
Dospěl jsem k mezím.
$\int_{\pi /4}^{\pi /2}\int_{0}^{1/2}rdrdt$
To je ale špatně. Nějak mě nenapadá, jak bych měl zohlednit tu přímku v mezích.
Všude narážím na zápisy třeba jako níže.
$\int_{\pi /4}^{\pi /2}\int_{0}^{2\cos t}rdrdt$
Nevím ale, jakou má tento zápis logiku.
Díky.

Bati · 08. 05. 2018 16:22

Ahoj, jak vypada tvoje transformace?

damib · 08. 05. 2018 16:41

Myslíš jako?
$x=r\cos t$
$y=r\sin t$
$J=r$

Bati · 08. 05. 2018 17:04

To jsou polarni souradnice v nule, ale M ma stred v (0,0.5)

damib · 08. 05. 2018 18:54

A jak to mám jako zohlednit?

Pritt · 08. 05. 2018 19:10

↑ damib:

Posunutím.

damib · 08. 05. 2018 19:16

A jak to mám posunout?

laszky · 08. 05. 2018 19:51 — Editoval laszky (08. 05. 2018 19:54)

↑ damib:

Kdyz pouzijes standardni polarni souradnice, pak

$x^2+y^2 = r^2\cos^2\varphi + r^2\sin^2\varphi = r^2 \leq y = r\sin\varphi$

Takze $r\leq\sin\varphi$

Dale $y\geq x \; \Rightarrow \; r \sin\varphi \geq r\cos\varphi \; \Rightarrow \; \sin\varphi \geq \cos\varphi$

A nakonec $x \geq 0 \; \Rightarrow \; r\cos\varphi \geq 0 \; \Rightarrow \; \cos\varphi \geq 0$ .

Celkem ziskame, ze

$r \in [0,\sin\varphi]$ a

$\varphi\in [0,2\pi] \cap \{\sin\varphi \geq \cos\varphi\} \cap \{\cos\varphi \geq 0\} = [0,2\pi] \cap \left[\frac{1}{4}\pi,\frac{5}{4}\pi\right] \cap \left( \left[0,\frac{1}{2}\pi\right] \cup \left[\frac{3}{2}\pi,2\pi\right] \right) = \left[\frac{1}{4}\pi,\frac{1}{2}\pi\right]$

Takze staci spocitat $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_0^{\sin\varphi}r\;\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi$