Matematické Fórum

damib · 10. 05. 2018 13:03

Ahoj,
u některých řešených příkladů na směrové derivace se vektor $\textbf{u}$ převádí na vektor jednotkový, ačkoliv to nevyžaduje přímo zadání. Kde je tedy pravda? Má se vektor převádět na jednotkový nebo ne?
Díky.

Rumburak

↑ damib:

Ahoj .

Derivace vhodné funkce $f$ v bodě $X$ ve směru $\vec{u}\ne \vec{0}$ je definována předpisem

$f'_{\vec{u}}(X) = \lim_{t \to 0} \frac{f(X+t\vec{u}) - f(X)}{t}$

( $t$ je reálná proměnná), pokud tato limita existuje. Také se zde používá termín
Gateauxova derivace narozdíl od derivace Fréchetovy, což je silnější pojem, který
úzce souvisi s totálním diferenciálem.

Viz přesné definice zmíněných pojmů a jejich porovnání.

O směrové derivaci např. platí: Je-li $\lambda$ nenulové reálné číslo, potom

$f'_{\lambda\vec{u}}(X) = \lim_{t \to 0} \frac{f(X+t\lambda\vec{u}) - f(X)}{t} = ... = \lambda f'_{\vec{u}}(X)$

(za předpokladu, že apoň jedna z těchto limit existuje - pak existuje i ta zbývající
a platí uvedený vztah).

V úlohách na zjišťování extrémů funkce několika proměnných vystačíme s případem,
kdy vektor $\vec{u}$ je jednotkový.

laszky · 10. 05. 2018 13:46

↑ damib:

Vektor $\boldsymbol{u}$ musi byt jednotkovy, potom (pokud je funkce f v bode x diferencovatelna) plati

$\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{u}}(x) = \boldsymbol{u}\cdot\nabla f (x)$ .

Pozn: Logicky duvod je napr. ten, ze kdyz chces zjistit derivaci podle x (ve smeru osy x), tak nasobis gradient jednotkovym vektorem (1,0).

damib · 10. 05. 2018 14:12

Ok, takže je použití jedmotkového vektoru prostě lepší, protože je "univerzální" ?

Rumburak

↑ damib:
I tak se to dá říci.
Díky "normalisaci" (což nemíním nijak politicky :-) vektorů v různých směrech
můžeme podle příslušných směrových derivací ihned určít, ve kterém ze dvou
různých směrů roste funkce rychleji a pod.

Matematické Fórum

#1 10. 05. 2018 13:03

Směrová derivace a jednotkový vektor.

#2 10. 05. 2018 13:31 — Editoval Rumburak (10. 05. 2018 15:18)

Re: Směrová derivace a jednotkový vektor.

#3 10. 05. 2018 13:46

Re: Směrová derivace a jednotkový vektor.

#4 10. 05. 2018 14:12

Re: Směrová derivace a jednotkový vektor.

#5 10. 05. 2018 14:54 — Editoval Rumburak (10. 05. 2018 14:58)

Re: Směrová derivace a jednotkový vektor.

Zápatí