Matematické Fórum

lucille · 09. 05. 2018 11:30

Zdravím,
můj učitel mě přivedl k otázce, jak se zachová kruhová inverze, pokud střed zobrazující kružnice posunu do nekonečna- do nevlastního bodu.
Moje představa je taková, že kružnice se potom bude blížit přímce. Zobrazení podle této kruznice by se potom taky chovalo jinak, přímky neprocházející středem by se mohli zobrazovat místo na kruznice opět na "skoro" přímky, které středem prochází...
Je moje úvaha tímto směrem správná?

check_drummer · 09. 05. 2018 14:49

Ahoj, to asi záleží na tom jestli se poloměr té kružnice bude limitně zvětšovat nebo ne - např. zda bude procházet stále stejným bodem.

Aspro1 · 10. 05. 2018 12:47

Jestliže zobrazující kružnice prochází stále stejným bodem $M$ a střed $S$ pošleme do nekonečna, potom bych věděl. Mezi body $S$ a $M$ na přímku procházející těmito body si dám bod $A$ , na stejnou přímku na druhou stranu od bodu $M$ dám bod $B$ , který je obrazem bodu $A$ v této kruhové inverzi, takže platí $|SA| \cdot |SB| = |SM|^2 = r^2$ .Vyjádřím si závislost délky $b = |BM|$ na délce $a = |AM|$ a na poloměru $r$ a z toho udělám $\lim_{r\to+\infty}$ .

lucille · 10. 05. 2018 21:14

↑ Aspro1:
$r^{2}=(r-a)(r+b)$
$r+b=\frac{r^{2}}{r-a}$
z toho vyjde, že $b=\frac{ra}{r-a}$
A limita z toho pro r k nekonečnu je a, nebo mám někde chybu?
A co mu teda tohle vlastně říká? Nějak tomu nerozumím...

Aspro1 · 10. 05. 2018 23:39 — Editoval Aspro1 (10. 05. 2018 23:54)

↑ lucille:Vychází Ti správně, že v limitním případě budou vzdálenosti $a$ a $b$ stejné. Z kružnice se v limitním případě stane přímka kolmá k přímce $AB$ a obě přímky se budou protínat v bodě $M$ . Body $A$ a $B$ budou na opačných stranách od přímky, která byla původně kružnicí, ve stejné vzdálenosti od ní, takže ten vztah mezi nimi bude osová souměrnost podle této přímky.

Dosud jsem předpokládal, že body $A$ a $B$ leží na přímce $SM$ , ale když bod $S$ odejde do nekonečna, stane se z přímky $SM$ jedna z kolmic k přímce, která byla původně zobrazující kružnicí. Jiný bod a jeho obraz nemusí ležet právě na této kolmici, mohou být jinde, všechny kolmice jsou si rovnocenné, ale vždy budou v tom limitním případě bod a jeho obraz ležet vůči sobě osově symetricky.