Matematické Fórum

Hyhy · 12. 05. 2018 19:15

Dobrý den, mám otázečku ohledně lineárního zobrazení.

Pakliže mám posoudit zda se jedná o lineární zobrazení musím zjisti zda tyto platí dvě podmínky

1. Z1=Z(u+v) = Z(u) + Z(v)

2. Z2 =Z(au) = aZ(u)

____________________________________________

V čem je problém? Nechápu jak má dosadit to těchto podmínek...

_________________________________________

Když mám třeba příklad f(x,y,z) = (2x+y;y+z)

jak toto dosadím např. do levé části orvní podmínky, tj Z(u+v)?

Mnohokrát děkuji za odpověď

laszky · 12. 05. 2018 19:51

↑ Hyhy:

$\boldsymbol{u}=(x_1,y_1,z_1)$ , $\boldsymbol{v}=(x_2,y_2,z_2)$ , $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$ , $a\boldsymbol{u}=(ax_1,ay_1,az_1)$

$f(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=?$

$f(\boldsymbol{u})+f(\boldsymbol{v})=?$

$f(a\boldsymbol{u})=?$

$af(\boldsymbol{u})=?$

Hyhy · 12. 05. 2018 21:04

↑ laszky:

Dobrý den,
děkuji za odpověď.

Když budu mít tento příklad $F(x,y) = (x+y;x)$

řeknu si, že

$u = x+y$ a $v = x$

Teď zkusím podmínku $F(u+v) = (x+x;y+0) = (2x;y)$
Teď mi vyšlo, že u ani v není stejné. Přitom to má vyjít, že pro tento příklad podmínka platí. Co dělám špatně?

laszky · 12. 05. 2018 21:25 — Editoval laszky (12. 05. 2018 21:25)

↑ Hyhy:

:-) Takhle neee.

$\boldsymbol{u}=(x_1,y_1)$ , $\boldsymbol{v}=(x_2,y_2)$

$F(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) = F((x_1+x_2,y_1+y_2)) = ((x_1+x_2)+(y_1+y_2),x_1+x_2)$

$F(\boldsymbol{u})+F(\boldsymbol{v}) = F((x_1,y_1))+F((x_2,y_2)) = (x_1+y_1,x_1) + (x_2+y_2,x_2)$

Takze $F(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) = F(\boldsymbol{u})+F(\boldsymbol{v})$

Linearni zobrazeni jdou tez vyjadrit pomoci matic, v tomto pripade

$F((x_1,y_1)) = \begin{pmatrix}1 & 1\cr 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \cr y_1\end{pmatrix} = \mathbb{A}\boldsymbol{u}$

Pak uz je jasne, ze $\mathbb{A}(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) = \mathbb{A}\boldsymbol{u} + \mathbb{A}\boldsymbol{v}$ .

Aspro1 · 12. 05. 2018 21:38 — Editoval Aspro1 (12. 05. 2018 21:40)

↑ Hyhy: Špatně děláš to, že $u, v$ pro Tebe jsou složky obrazu. Je třeba chápat $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$ jako vektory, na jejichž součet necháme působit zobrazení $F$ (potom také na $\alpha$ -násobek jednoho z nich). Má to být tak, že dvojici $(x, y)$ chápeme jako vektor, vezmeme si dva vektory $\boldsymbol{u} = (x_1, y_1), \boldsymbol{v} = (x_2, y_2)$ a číslo $\alpha$ z tělesa a ověřujeme:

$F(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = F(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_1 + x_2 + y_1 + y_2, x_1 + x_2) = (x_1 + y_1, x_1) + (x_2 + y_2, x_2) = F(\boldsymbol{u}) + F(\boldsymbol{v})$
$F(\alpha \boldsymbol{u}) = F(\alpha x_1, \alpha y_1) = (\alpha x_1 + \alpha y_1, \alpha x_1) = \alpha (x_1 + y_1, x_1) = \alpha F(\boldsymbol{u})$