Matematické Fórum

sqrt(211)

Zdravím,
potřeboval bych poradit s odvozením fyzikálního vztahu mezi zdánlivým, činným a jalovým výkonem.

Rozumím tomu, že
zdánlivý výkon $S=U\cdot I$
činný výkon $P=U\cdot I\cdot cos(\varphi )$
jalový výkon $Q=U\cdot I\cdot sin(\varphi )$

Leckde se uvádí vztah $S^{2}=P^{2}\cdot Q^{2}$

Jak jsme na něj ale přišli?

Díky za všechny nápady!

Edit: tuším, že to bude něco se vzorcem $sin^{2}x+cos^{2}x=1$

edison · 15. 05. 2018 14:14

Na úplném začátku je P=U.I, které platí pro konstantní hodnoty. Jenže střídavý proud není konstantní. Musíme tedy integrovat:
$\int_{0}^{T}uidt$ , kde T je perioda signálu.
A když se proud a napětí fázově posunou, zjistíme, že v intergované oblasti jsou části, kde ui>0 a ui<0. Nějaký výkon koluje tam a zpět mezi zdrojem a naším spotřebičem. Právě jsme objevili jalový výkon.

sqrt(211) · 15. 05. 2018 14:21

U a I jsem myslel efektivní hodnoty, omlouvám se za nejednoznačnost.
Okamžitá hodnota výkonu se při účiníku<1 se vždy na část periody samozřejmě dostává do záporných čísel a to je jalový výkon.
Tomu všemu rozumím, jen mě zajímalo, kde se vzal vztah $S^{2}=P^{2}+Q^{2}$

edison · 15. 05. 2018 14:51

Je to skládání kolmých vektorů a tedy Pythagorova věta.

sqrt(211) · 15. 05. 2018 17:05

Ty vektory v tom úplně nevidím, i přesto že výkon sám o sobě je vektorová veličina, prostě si je tam v případě elektrického pole neumím představit.

Už jsem ale přišel na to, jak si vztah matematicky dokázat:
$S^{2}=P^{2}+ Q^{2}$
$S^{2}=(S\cdot cos\varphi )^{2}+ (S\cdot sin\varphi )^{2}$
$S^{2}=S^{2}\cdot (cos^{2}\varphi +sin^{2}\varphi)$
$S^{2}=S^{2}\cdot1$

MichalAld · 15. 05. 2018 20:56

S těmi výkony je to trochu jiné, než s napětím a proudem.

Pro výkon platí

$p(t) = u(t) i(t) = U \sin (\omega t + \varphi) \, I \sin (\omega t) = \frac{U I}{2} \left( \left( 1 - \cos 2 \omega t \right) \cos \varphi + \sin 2 \omega t \, \sin \varphi \right)$

U, I jsou amplitudy (nejsou to efektivní hodnoty, pak už by vztah nedával vůbec žádný rozumný fyzikální význam, i když se to dost často taky tak píše).

Činný výkon odpovídá tomu prvnímu členu, a jalový tomu druhému.
Zatímco činný výkon má jednoduchou fyzikální interpretaci, je to prostě střední hodnota přeneseného výkonu za jednu periodu, jakový výkon žádný takový pěkný význam nemá, jeho střední hodnota je nulová. Je to spíš taková matematická konstrukce. To samé zdánlivý výkon (UI/2).

Taky můžeme říct, že činný a jalový výkon jsou amplitudy těch dvou složek celkového výkonu, činné, co má střední hodnotu rovnou jedné a jalové, co má střední hodnotu rovnou nule.

Celý trik je podle mě v tom, že ty členy obsahující omegu jsou pořád stejné, nezávisí na napětí, proudu ani na fázovém posuvu. Takže je můžeme tak nějak ignorovat, a starat se jen o to, co na situaci závisí.

Já bych to bral tak, že jalový výkon je prostě definován vztahme U.I/2.sin(phi), ať už to fyzikálně znamená cokoliv.

MichalAld · 15. 05. 2018 21:04

Mělo by se tomu říkat fázory, a né vektory. Jsou to prostě komplexní čísla. Takže

$\overline{S} = P + jQ = Se^{j \varphi}$

Pak by mělo být jasné, jaké a proč jsou mezi S, P a Q vztahy.

Taky ještě platí

$\overline{S} = \overline{U}\overline{I}^*$

Proud (nebo napětí) je komplexně sdružené, tím nám z toho vypadne ta úhlová rychlost, pokud bychom ji tam měli a zůstane jen rozdíl fáze. Tenhle vztah ale už nepředstavuje vůbec nic fyzikálního, dává výsledek nezávislý na čase i pokud tam dosadíme napětí a proud jež na čase závisejí. Prostě to jen vyjde tak, jak to zrovna potřebujeme.

(narozdíl od předchozího příspěvku, zde U a I představují efektivní hodnoty, jak je běžně zvykem).

sqrt(211) · 15. 05. 2018 21:39

↑ MichalAld:
Díky za upřesnění s těmi fázory! Vektory mě zmátly, ale už mi konečně docvaklo že to sčítání funguje na stejném principu jako u fázorů pro RLC obvody. Já jsem si hlavně pořád nedovedl představit, jak se učí nějaký směr nějakého vektoru výkonu. A on to nakonec není vektor a směr, ale fázor a fázový posun.

MichalAld · 15. 05. 2018 21:59

sqrt(211) napsal(a):
↑ MichalAld:
Já jsem si hlavně pořád nedovedl představit, jak se učí nějaký směr nějakého vektoru výkonu. A on to nakonec není vektor a směr, ale fázor a fázový posun.

V tom případě "doporučuji" teorii elektromagnetických vln. Protože tam je skutečný vektor výkonu, má směr, kterým se výkon šíří (asi by bylo lepší říct směr, kterým se energie šíří), a zároveň to může být i fázor, když jde o harmonickou vlnu.

Ono by to mělo být nakonec stejné i pro mechanické vlny.

Celý ten trik s fázory je v tom, že v lineárních systémech můžeme namísto signálu

$A\cos(\omega t + \varphi)$

použít signál

$A\cos(\omega t + \varphi) + jA \sin(\omega t + \varphi) = Ae^{j(\omega t + \varphi)}$

lineárním systémům to nevadí, když do nich kromě reálného signálu pouštíme ještě i imaginární signál,
každý si žije svým životem a ono se to zpravidla mnohem jednudušeji počítá, když jsou tam oba.

A nakonec si vybereme zase jen tu reálnou část (nebo tu imaginární, tak se to většinou dělá, protože u imaginární je ten sinus, kdežto u reálné je cosinus) a tu druhou složku ignorujeme. To je celé.

U toho výkonu je to ale takové speciální, tam to tak nějak vychází "jen náhodou".

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2018 13:15 — Editoval sqrt(211) (15. 05. 2018 13:16)

Výkon střídavého proudu (zdánlivý, činný, jalový)

#2 15. 05. 2018 14:14

Re: Výkon střídavého proudu (zdánlivý, činný, jalový)

#3 15. 05. 2018 14:21

Re: Výkon střídavého proudu (zdánlivý, činný, jalový)

#4 15. 05. 2018 14:51

Re: Výkon střídavého proudu (zdánlivý, činný, jalový)

#5 15. 05. 2018 17:05

Re: Výkon střídavého proudu (zdánlivý, činný, jalový)

#6 15. 05. 2018 20:56

Re: Výkon střídavého proudu (zdánlivý, činný, jalový)

#7 15. 05. 2018 21:04

Re: Výkon střídavého proudu (zdánlivý, činný, jalový)

#8 15. 05. 2018 21:39

Re: Výkon střídavého proudu (zdánlivý, činný, jalový)

#9 15. 05. 2018 21:59

Re: Výkon střídavého proudu (zdánlivý, činný, jalový)

sqrt(211) napsal(a):

Zápatí