Matematické Fórum

Kandela · 15. 05. 2018 10:05

Ahoj, potřeboval bych poradit s následující úlohou.
Vypočítejte plošný obsah povrchu pravidelného trojbokého jehlanu, který je opsaný rotačnímu kuželi o s poloměrem podstavy r a výškou v.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-05/70568_jhln%2B1%2B0.PNG

Vycházel jsem z Pythagorovy věty, takže:

$w=\sqrt{r^{2} + v^{2}}$ (vzdálenost w beru jako stranovou výšku)

$(\frac{a}{2})^{2} + w^{2}=a^{2}$
$(\frac{a^{2}}{4}) + w^{2}=a^{2}$ $/$ $-\frac{a}{4}$
$w^{2}=\frac{3}{4}a^{2}$ $/$ $: \frac{3}{4}$
$\frac{4w^{2}}{3}=a^{2}$ $/$ $\sqrt{}$
$a=\frac{2\sqrt{3}w}{3}$

Jelikož se jedná o pravidelný trojboký hranol, je vzorec

$S=4\frac{a\cdot w}{2}$
$S=4\frac{\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{r^{2}+v^{2}}}{3}}{2}$
$S=\frac{4\sqrt{3}\cdot (r^{2}+v^{2})}{3}$

Je daný postup správný?

sqrt(211) · 15. 05. 2018 10:51

Trochu jsem se v těch tvých výpočtecch ztratil, aale to bude spíš moje chyba.
Počítal bych to tak, že bych si určil stranu trojúhelníka opsaného k podstavě kužele. Pak bych si ověřil, že má výšku minimálně stejnou jako kužel. Nebo by to šlo udělat naopak - zkonstruovat jehlan o požadované výšce a ověřit, že má dostatečně velkou podstavu.
Nenapadá mě ale způsob, jak to vyřešit obecně...

Kandela · 15. 05. 2018 12:11

↑ sqrt(211):
Jo, to mě taky napadlo, jenže pak máš ve výsledném vztahu jenom ,r'.
Protože se jedná o rovnostranný trojúhelník (obecně trojúhelník), má střed kružnice v těžišti. Těžiště se nachází 1/3 od středu strany, takže r musí být třetina těžnice (výšky), takže výška w (stěnová) je 3r. To poté dosadíš do Pythagorovy věty (těžnice půlí protější stranu, takže strany budou o délkách ,a' , ,a/2' (půlená strana) a ,w' (=3r)) takže postup jsem volil...
$(3r)^{2}+(\frac{a}{2})^{2}=a^{2}$
$9r^{2}+\frac{a^{2}}{4}=a^{2}$ - vynásobíš čtyřmi
$36r^{2}+a^{2}=4a^{2}$ - převedeš si áčka na jednu stranu
$3a^{2}=36r^{2}$ - vydělíš třemi
$a^{2}=12r^{2}$ - odmocníš a výsledek je
$a=2\sqrt{3}r$

Když potom dosadíš do vzorce pro povrch

$S=4\cdot \frac{a\cdot w}{2}$
$S=4\cdot \frac{2\sqrt{3}r\cdot 3r}{2}$
$S=2\cdot 6\sqrt{3}r^{2}$
$S=12\sqrt{3}r^{2}$

Takže k tomuhle jsem se taky dostal, jenže jestli to může být jako výsledek, protože když máš zadaný parametry ,a' a ,v', tak se mi zdá, že ten výsledek musí obsahovat pouze tyto dvě proměnné, takže nevím. :/

laszky · 15. 05. 2018 14:08

↑ Kandela:

Ahoj, kdes prisel na $S=4\cdot \frac{a\cdot w}{2}$ ?

Ja mel zato, ze povrch (i pravidelneho) jehlanu je $S_{\mathrm{podstavy}}+S_{\mathrm{plaste}}$ ?

Podstavou je rovnostranny trojuhelnik o strane $a=2\sqrt{3}r$ , plast je tvoreny tremi rovnoramennymi trojuhelniky, se zakladnou $a$ , zbyle strany (nebo vysku) musis dopocitat ;-)

Kandela · 15. 05. 2018 22:46

↑ laszky:
Zdravím,
no já vycházím z toho, že když je pravidelný, je z rovnostranných trojúhelníků, takže vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku je $S=\frac{a\cdot v_{a}}{2}$ akorát výšku $v$ beru jako tělesovou, tak jsem stěnovou vzal jako $w$ . Takže beru že to máš čtyřstěn -> čtyři stěny -> čtyři trojúhelníky. Ne?

laszky · 15. 05. 2018 22:50

↑ Kandela:

Pravidelny znamena, ze ma podstavu tvorenou pravidelnym mnohouhelnikem a plast tvoreny shodnymi rovnoramennymi (ne nutne rovnostrannymi) trojuhelniky. Pokud je trojboky, je podstavou trojuhelnik.

Kandela · 15. 05. 2018 23:26

↑ laszky:
Ach so, tak teď už je mi to jasné. Díky za poučení

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2018 10:05

Stereometrie - Povrch čtyřstěnu

#2 15. 05. 2018 10:51

Re: Stereometrie - Povrch čtyřstěnu

#3 15. 05. 2018 12:11

Re: Stereometrie - Povrch čtyřstěnu

#4 15. 05. 2018 14:08

Re: Stereometrie - Povrch čtyřstěnu

#5 15. 05. 2018 22:46

Re: Stereometrie - Povrch čtyřstěnu

#6 15. 05. 2018 22:50

Re: Stereometrie - Povrch čtyřstěnu

#7 15. 05. 2018 23:26

Re: Stereometrie - Povrch čtyřstěnu

Zápatí