Matematické Fórum

↑ jozef01:

Dobrý den.

Opravdu rozumíte tomu, co jste napsal? Nešlo by opsat úplně celé zadání?

Tu je celé zadanie:

Celú situáciu si môžeme predstaviť v dvoch rozmeroch (výška a šírka). Každý bod sa na začiatku nachádza v nejakom bode roviny. Body sa otáčajú rovnomerným otáčavým pohybom okolo stredu, ktorý je v bode [0,0]. Chceme vybrať bod, ktorý bude počas jednej otáčky najdlhší čas vyššie ako všetky ostatné body.

Co je to vlastně ten "rovnoměrný otáčivý pohyb" ? A co to znamená, že se body "otáčejí kolem středu" ?
A co znamená zkratka RPP ?

Mě napadají jen dvě varianty, jak by to mohlo být - buď body obíhají po kružnicích a mají přitom konstantní velikost rychlosti, potom bude nejdéle obíhat ten, co je od středu nejdál,
nebo obíhají po kružnicích s konstantní úhlovou rychlosti - a pak budou mít čas oběhu všechny stejný.

Nebo je tím myšleno něco jiného ?

PS: bod se nemůže otáčet, může se jen pohybovat, nějak (třeba po přímce nebo po kružnici nebo po jakékoliv jiné křivce, ale otáčet se nemůže, je nekonečně malý).

Ospravedlňujem sa, myslel som ROP - rovnomerný otáčavý pohyb.

Príspevok od Aspro1 je správne povedané zadanie.

Aspro1 napsal(a):

Rozuměl bych tomu asi tak, že body obíhají po kružnicích se společným středem a různými poloměry stejnou úhlovou rychlostí, jsou asi vůči sobě nějak fázově posunuté a chceme určit, který bod je během jedné otáčky po nejdelší dobu tím bodem, jehož souřadnice je větší než souřadnice ostatních obíhajících bodů. Chápu to správně?

Áno, presne takto je to správne.

Když si tuto situaci nakreslím jako jakéhosi „ježka“, tedy různě dlouhé úsečky trčící pod různými úhly z jednoho bodu (středu), tak je vidět, že to skutečně není ten bod nejdále od středu, ale ten , který je nejdál ode všech ostatních.

Zkuste si představit extrémní situaci, kdy mám několik bodů hodně vzdálených od středu, ale jsou zhuštěné na malém úhlovém rozsahu. Pokud přímo naproti nim umístíme bod, který je téměř u středu, vždy bude nad ostatními nejdéle.

Jen teď nevím, zda nejvetší vzdálenost od všech ostatních bodů znamená součet vzdáleností od ostatních bodů (↑ vlado_bb:), nebo jde o porovnávání vzdáleností od nejbližšího sousedního bodu...

jozef01 napsal(a):

↑ vlado_bb: Ako sa počíta vzdialenosť po kružnici?

No ten úhel musíme ovšem dosadit v radiánech.
Tak je přece definován úhel, že to je délka oblouhu (u kružnice s poloměrem r=1).

jozef01 napsal(a):

A nevadí, keď tie kružnice nemajú rovnaké polomery?

No to pak záleží na tom, jestli se ty body pohybují konstantní úhlovou rychlostí, nebo konstantní "normální" rychlostí.

sqrt(211) napsal(a):

↑ MichalAld:
Co je „normální“ rychlost?

V tomto případě jsem tím myslel velikost rychlosti. Rychlost je totiž vektor a krom velikosti má i směr (nebo můžeme říct, že má tři složky, ve směru os x, y, z). Pokud je vektor rychloti konstantní, nemůže jít o pohyb po kružnici, musí jít o pohyb po přímce.

sqrt(211) napsal(a):

Já myslím, že pokud je konstantí úhlová rychlost, tak je konstantní i velikost obvodové rychlosti (směr se pochopitelně mění).

To záleží na tom, jestli myslíš "konstantní v čase" - pak je to pravda, nebo "konstantní v prostoru" - a pak to pravda není. Na větších kružnicích bude velikost rychlosti větší, na menších menší.

sqrt(211) napsal(a):

Kromě toho u porovnávání poloměrů těchto kružnic vůbec nezáleží na pohybu, protože jednotlivé body se vůči sobě navzájem nepohybují. Jestli se nepletu, tak ↑ vlado_bb: těmi kružnicemi myslel vzdálenosti mezi jednotlivými obíhajícími body. Teď jde o to, jestli ten bod, který má být nahoře nejdéle, musí mít největší vzdálenost jen od nejbližšího sousedního bodu, nebo největší průměrnou vzdálenost od všech bodů.

Já jsem ten tvůj příklad zatím moc nepochopil, takže validní odpovědi se týkají jen délky oblouků a rychlostí.

Ale jestli to tvé "nahoře" znamená největší hodnotu ve směru osy y, a jestli si body mezi sebou udržují pevné vzdálenosti, tak to podle mě s nějakými rychlostmi vůbec nesouvisí, a jde o hledání "průsečíků" mezi několika funkcemi typu:

↑ jozef01: Ocenujem, ako udrziavas napatie a vzdy prezradis dalsie a dalsie casti zo zadania. Mnohi to neoriginalne robia tak, ze napisu hned cely text ulohy. Vieme nieco aj o zaciatocnom stave? Ak nie, neviem si dost dobre predstavit nejake rozumne riesenie.

↑ jozef01:

Ahoj, staci udelat konvexni obal vsech bodu. Ziskas tak mnohouhelnik a pouze vrcholy tohoto mnohouhelniku se muzou behem otaceni ocitnout "nejvys".  Nejdele bude nejvys ten bod, u ktereho je v mnohouhelniku nejmensi vnitrni uhel.

Je-li totiz frekvence otaceni , a jsou-li uhly pri jednotlivych vrcholech n-uhelniku , , potom kazdy vrchol bude v nejvyssi pozici po dobu .

Jako zkousku si muzeme udelat soucet jednotlivych casu:

,

kde jsme vyuzili faktu, ze soucet vnitrnich uhlu v n-uhelniku je .

A omlouvam se za prilis podrobne reseni, ale prislo mi, ze se to tu nejak nepohlo.

↑ jozef01:

Ahoj, v pripade otaceni usecky muzou byt nejvys jen jeji krajni body. (Doba, kdy jsou nejvys ostatni body, je 0 sekund). A vnitrni uhel u obou krajnich bodu je proste , takze tam zadnou chybu nevidim. ;-)

↑ jozef01:

Na poloze stredu otaceni vysledek nezavisi.