Matematické Fórum

Katarina · 21. 05. 2009 06:42

Dobré ráno,

včera při počítání jsem narazila na tři příklady, z toho u dvou nemám ani zdání co s tím.

1) tady vás prosím o kontrolu grafu. Exp. graf $y=2^x$ je OK, ale když je $y=-2^x$ , tak si nejsem jistá jestli se to překlopí celé pod osu x, tak jak to mám udělaný já a jestli jsem správně naznačila i funkci $y=5-2^x$ .

Můžete mně to prosím vás potvrdit, popřípadě vyvrátit? Předem děkuji.

[img]http://forum.matweb.cz/upload/601-H(f).JPG
[/img]

2) Určete hodnotu parametru c tak, aby přímka p o rovnici $3x+2y-2c=0$ byla tečnou paraboly $y^2=9$ .
Tady mě napadlo, že bych mohla použít vzorec na vzdálenost bodu od přímky, tj. $v= \frac{/ax+by+c/}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , ale nevím, jak bych určila body a, b.

3) Určete průsečík P úhlopříček s vrcholy A=[-3,1], B=[3,9], C=[7,6], D=[-2,-6]. U tohoto příkladu nemámvůbec ponětí, jak začít a co s tím.

O.o · 21. 05. 2009 07:04

↑ Katarina:

Načrtnutí je ok. Podle mne by nebylo špatné, kdybys si zaznamenala i nějaké zajímavé body do grafu, často se to tak dělá, člověka neubyde a zopakuje si to ;-).
(tady to je bod pro, kde je x=0 - protnutí osy y; a horní mez y=5, ke které se graf blíží)

U dvojky si vyjádři z rovnice přímky y, dosaď do rovnice paraboly a řeš to jako kvadratickou rovnici s parametrem c. Stačí ti vyřešit diskriminant, protože tečna paraboly má jeden společný bod, takže diskriminant by měl snad vyjít roven nule (myslím -)).

Zakresli si to do kartézské soustavy (úhlopříčky čeho to mají být, nebo víš alespoň, které body patří které úhlopříčce?), dva body určují přímku, z toho snadno zjistíš její obecný (nebo parametrický - je to jedno) tvar a můžeš řešit průsečík dvou přímek porovnáváním (prostě, tak jak to znáš).

Cheop · 21. 05. 2009 07:14

↑ Katarina:
1)
viz obrázek:

Katarina · 21. 05. 2009 07:18

↑ O.o:U TOHO TŘETÍHO PŘÍKLADU SE JEDNÁ O ÚHLOPŘÍČKY ČTYŘÚHELNÍKA S VRCHOLY A,B,C,D - JAK JSEM JE POPSALA

O.o · 21. 05. 2009 08:22

↑ Katarina:

To byla poznámka jen pro tebe. Na řešení to nic nemění, dva body určují přímku, takže napíšeš rovnice obou úhlopříček a pak hledáš jejich spoečný bod (průsečík) porovnáváním jako to znáš..

Cheop · 21. 05. 2009 10:08

↑ Katarina:
Př.3 mi vychází:
P(1;3)

Katarina · 21. 05. 2009 10:21

↑ Cheop:no, já s tím ještě zápasím, ale podle výsledků je to správně.

Cheop · 21. 05. 2009 10:52 — Editoval Cheop (21. 05. 2009 15:02)

↑ Katarina:
Úhlopříčka BD bude mít rovnici:
$y=kx+q$ kde k = směrnice přímky a q = průsečík s osou y
pro směrnici k platí:
$k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ kde x_1,x_2.y_1,y_2 jsou x-ové resp. y-ové souřadnice bodů, kterými přímka prochází ( v našem případě BD)
Až vypočteš směrnici k pak dosadíš jeden z bodů do obecné rovnice $y=kx+q$ a dopočteš q
To samé uděláš s rovnicí přímky AC
Pak vypočítáš průsečík těch dvou přímek.

BD:(rovnice)
$k=\frac{y_b-y_d}{x_b-x_d}=\frac{9+6}{3+2}=3$
$y=kx+q$ dosadíme bod B
$y=kx+q\nl9=3\cdot 3+q\nlq=0$
Rovnice úhlopříčky BD bude:
$y=3x$
Rovnice úhlopříčky AC by Ti měla vyjít:
$y=\frac x2+\frac 52\,\Rightarrow\nlx-2y+5=0$
Pro průsečík úhlopříček resp. pro jeho x-ovou souřadnici, musí vzhovovat obě rovnice těch úhlopříček
tj: $3x=\frac x2+\frac 52$ a dále už y-ovou souřadnici průsečíku dopočítáš dosazením do jedné z rovnic úhlopříčky.

Obrázek vidíš body A a D a průsečík úhlopříček P, body B a C jsou mimo obraz)

Katarina · 21. 05. 2009 15:46

↑ Cheop:moc děkuji, za pomoc.

já se ještě ztrácím i v tom druhém příkladu. Zkouším to podle rady O.o, ale asi něco dělám špatně:

nejprve tedy vyjádřím y z rovnice přímky
$3x+2y-2c=0$
$2y=2c-3x$
$y=c-\frac{3}{2}x$
Teď bych to měla dosadit do rovnice paraboly:
$y^2=9x$
$(c-\frac{3}{2}x)^2=9x$
$c^2-3xc+\frac{9}{4}x^2=9x$ - to už se mi zdá být divný
$4c^2-12xc+9x^2=36x$
$4c^2-12xc+9x^2-36x=0$ - a jsem v koncích :-(, možná by se dalo ještě něco vytknout, zkoušela jsem to, ale nic moc

marnes · 21. 05. 2009 16:29 — Editoval marnes (21. 05. 2009 18:17)

↑ Katarina:
Procházel jsem to letmo, ale ty úpravy jsou snad OK. teď budeš počítat D a aby to byla tečna, tak D=0

D=b´^2-4a´c´, kde
a´=9
b´=-12c-36
c´=4c^2

D´=(-12c-36)^2-4.9.4c^2=144c^2+864c+1296-144c^2=864c+1296=0
c=-3/2

Olin · 21. 05. 2009 16:35

V tuto chvíli to, co chceš, je, aby tato rovnice, kterou jsi dostala, měla právě jedno řešení - tzn. existoval jen jeden společný bod přímky a paraboly. V takovém případě bude daná přímka tečnou paraboly.

Kvadratická rovnice má právě jedno řešení právě tehdy, když je její diskriminant roven nule. Tak ho určíme:

$D = (-36-12c)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4c^2 = 864c + 1296\nl D = 0 \: \Leftrightarrow \: c = -\frac 32$

gadgetka · 21. 05. 2009 16:37

$4c^2-12xc+9x^2-36x=0\nl9x^2-12(c+3)\cdot x+4c^2=0\nlD=b^2-4ac=0\nl(-12(c+3))^2-4\cdot 9\cdot 4\cdot c^2=0\nl144(c^2+6c+9)-144\cdot c^2=0\nl144c^2+864c+1296-144\cdot c^2=0\nl864\cdot c=-1296\nlc=-\frac{1296}{864}=-\frac{3}{2}$

Katarina · 21. 05. 2009 17:23

děkuji za pomoc

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2009 06:42

Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#2 21. 05. 2009 07:04

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#3 21. 05. 2009 07:14

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#4 21. 05. 2009 07:18

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#5 21. 05. 2009 08:22

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#6 21. 05. 2009 10:08

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#7 21. 05. 2009 10:21

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#8 21. 05. 2009 10:52 — Editoval Cheop (21. 05. 2009 15:02)

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#9 21. 05. 2009 15:46

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#10 21. 05. 2009 16:29 — Editoval marnes (21. 05. 2009 18:17)

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#11 21. 05. 2009 16:35

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#12 21. 05. 2009 16:37

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

#13 21. 05. 2009 17:23

Re: Obor funkčních hodnot funkce, průsečík úhlopříček, parametr

Zápatí