Matematické Fórum

Paulietta · 20. 05. 2018 16:23

Ahoj,

mám najít obecné řešení diferenční rovnice: $a_{n+1}-3a_{n}=2^{n}$

Nejprve jsem vypočítala obecné řešení homogenní rovnici a dopočítala jsem se k výsledku $a_{n}=C3^{n}$ .
Pak jsem hledala partikulární řešení nehomogenní rovnice ve tvaru $a_{p}=A\cdot 2^{n}$ . Tohle jsem dosadila do diferenční rovnice:
$A\cdot 2^{n+1}-3A\cdot 2^n=2^n$ a vypočítala jsem $A=-1$ .
Zjistila jsem, že partikulární řešení je $a_{p}=-1\cdot 2^{n}$ a obecné řešení zadané diferenční rovnice je: $a_n=C3^n-2^n$ .

Podle výsledků by ale řešení mělo být $a_n=C3^n-2^{n+1}$ .
Poradíte mi, prosím, v čem dělám chybu?

Děkuji.

laszky · 20. 05. 2018 16:43

↑ Paulietta:

I ve vysledcich muzou mit chybu ;-)

Paulietta · 20. 05. 2018 19:07

↑ laszky:
To jsem si taky myslela, tak jsem zkusila vypočítat ještě jeden podobný příklad: $4a_n-a_{n+1}=4^n$ a výsledek mi vyšel $a_n=C\cdot 4^n-n\cdot 4^{n-1}$ ,ale ve výsledcích byl zase jiný výsledek a to $a_n=C\cdot 4^n-n\cdot 4^{n-2}.$

Tak budu věřit, že jsem postupovala dobře :-)

MichalAld · 20. 05. 2018 19:30

Vždyť si to můžeš vyzkoušet, jestli to máš správně, zvol si nějaké málé n a vhodné C, ať s tím nemáš moc práce a zkus si to dosadit. Je to jen sčítání a násobení.

Paulietta · 20. 05. 2018 19:44

↑ MichalAld:
Díky moc za komentář. Já tady nad tím sedím a hledám chybu místo toho, abych si ověřila svůj výsledek :-)
Ještě jednou díky!

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2018 16:23

Diferenční rovnice

#2 20. 05. 2018 16:43

Re: Diferenční rovnice

#3 20. 05. 2018 19:07

Re: Diferenční rovnice

#4 20. 05. 2018 19:30

Re: Diferenční rovnice

#5 20. 05. 2018 19:44

Re: Diferenční rovnice

Zápatí