Matematické Fórum

MartinTam8 · 20. 05. 2018 13:11

Dobrý den, prosím o pomoc s úlohou. Děkuji.

Necht (x, y, z) je LN soubor vektorů v lineárním prostoru V nad tělesem R. Rozhodni, zda jsou následující soubory LZ nebo LN:

a) (x+y, x+z, x)

b) (x+y, x-y)

c) (x+y, x-y, x-z, x+z)

laszky · 20. 05. 2018 15:23

↑ MartinTam8:

Ahoj, napriklad v te moznosti a) muzes uvazovat, ze vektory $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}$ jsou sloupcove, pak plati

$\Bigr(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}\Bigr)\begin{pmatrix}1&1&1\cr 1&0&0\cr 0&1&0\end{pmatrix} = \Bigr(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}, \boldsymbol{x}\Bigr)$ ,

kde $\Bigr(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}\Bigr)$ je proste matice jejiz sloupce jsou porade $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}$ . Podobne u te vysledne matice.

Ze zadani vis, ze $\det\Bigr(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}\Bigr)\neq 0$ , takze pokud bude

1) $\det\begin{pmatrix}1&1&1\cr 1&0&0\cr 0&1&0\end{pmatrix} = 0 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \det \Bigr(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}, \boldsymbol{x}\Bigr) =0$

2) $\det\begin{pmatrix}1&1&1\cr 1&0&0\cr 0&1&0\end{pmatrix} \neq 0 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \det \Bigr(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}, \boldsymbol{x}\Bigr) \neq 0$

Pokud je spravne 1), potom tvori vektory $\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}, \boldsymbol{x}$ linearne zavisly (LZ) soubor vektoru ("das je do matice, jejiz determinant vyjde 0")

Pokud je spravne 2), potom tvori vektory $\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}, \boldsymbol{x}$ linearne nezavisly (LN) soubor vektoru ("das je do matice, jejiz determinant vyjde nenulovy").

MartinTam8 · 20. 05. 2018 15:42

↑ laszky:

Díky moc, ale nechápu, proč tam musí být zrovna tato matice. Můžeš mi to nějak vysvětlit prosím? Např. jak bys takovou podobnou matici sestavil pro možnost b) ?

$\begin{pmatrix}1&1&1\cr 1&0&0\cr 0&1&0\end{pmatrix}$

laszky · 20. 05. 2018 16:03

↑ MartinTam8:

Kdyz si zkusis napr. spocitat

$\Bigr(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\Bigr)\begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1 & y_1 \cr x_2 & y_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax_1+cy_1 & bx_1+dy_1 \cr ax_2+cy_2 & bx_2+dy_2\end{pmatrix} = \Bigr(a\boldsymbol{x}+c\boldsymbol{y},b\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{y}\Bigr)$ ,

vidis, ze je to v podstate totez, jako kdybys s tou matici $\Bigr(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\Bigr)$ zachazel jako s radkovym vektorem a nasobil ho se sloupci matice $\begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix}$ .

Z toho take vyplyva zpusob jakym se zkonstruovala ta matice

$\begin{pmatrix}1&1&1\cr 1&0&0\cr 0&1&0\end{pmatrix}$ .

Do sloupcu proste zapises koeficienty vystupujici u jednotlivych vektoru toho vysledneho souboru $\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}, \boldsymbol{x}$ . Takze prvni vektor je $\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} = 1\cdot \boldsymbol{x} + 1\cdot\boldsymbol{y} + 0\cdot\boldsymbol{z}$ , proto prvni sloupec bude $(1,1,0)$ , podobne u dalsich.

MartinTam8 · 20. 05. 2018 16:12

↑ laszky:

Jo jasně, už to chápu. Díky moc, jsi borec.

vanok · 20. 05. 2018 22:56

Ahoj ↑ MartinTam8:,
Poznamka.
Kolega ↑ laszky: ( hi 😁) ti dal jednu dobru metodu na urcenie LN ci LZ.
Ale mohol si pouzit tiez definiciu LN ( a su aj dalsie metody ).
Ak ta to zaujima mozem ti dat indikacie aby si ju vedel tiez pouzit.

MartinTam8 · 20. 05. 2018 23:04

↑ vanok: To bys byl hodný, díky. :-)

vanok · 21. 05. 2018 00:24

↑ MartinTam8:
Vies, ze LN vektorov x, y, z je vlasnost:
Ak ax+by+cz=0 tak a=b=c=0 je jedinne riesenie rovnice ax+by+cz=0.(*)
Tak to pouzime na vysetrenie napr a)
Ak $\alpha( x+y)+\beta (x+z) +\gamma z=0$
Co sa po malych upravach ekvivalentne pise
$(\alpha+\beta) x +\alpha y+(\beta+\gamma )z=0$
Vdaka (*) mame
$\alpha +\beta=0$
$\alpha=0$
$\beta+\gamma=0$
A posledny system ma jedinne riesenie $\alpha=\beta=\gamma=0$
Co znamena, ze x+y, x+z,z su LN.

Podobne unazes, v b) LN a v c) LZ.