Matematické Fórum

Kája2 · 21. 05. 2018 08:19 — Editoval Kája2 (21. 05. 2018 08:50)

Dobrý den, řeším tento integrál $\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}$ . Zavedl jsem si substituci $\sqrt{x^{2}+1}=xt+1$ (Eulerova substituce) a postupně se dopočítal k integrálu $\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1-t^{2}}{t^{2}}\text{dt}=\frac{1}{2}\int_{}^{}(\frac{1}{t^{2}}-1)\text{dt}=\frac{1}{2}(\frac{-1}{t}-t)=-\frac{1}{2}(\frac{1}{t}+t)+C$ , kde $t=\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x}$ . Po dosezení se ovšem nemohu dostat k výsledku, který mi hází wolfram alpha $-\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$ . Nevím, kde chybuji. Můžete mi někdo, prosím, poradit?

vlado_bb · 21. 05. 2018 08:51

↑ Kája2: To, ze si nasiel inu primitivnu funkciu ako nejaky software, este nic neznamena. Zasadna otazka - overil si si, ci je aj tvoj vysledok primitivnou funkciou?

Kája2 · 21. 05. 2018 09:51 — Editoval Kája2 (21. 05. 2018 11:19)

↑ vlado_bb:
Postupoval jsem takto: $\sqrt{x^{2}+1}=xt+1$ , potom $x=\frac{2t}{1-t^{2}}$ , $\text{dx}=\frac{2(1+t^{2})}{(1-t^{2})^{2}}dt$ , $\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1+t^2}{1-t^2}$ .PAk dostávám integrál $\int_{}^{}\frac{\frac{2(1+t^2)}{(1-t^2)^2}}{\frac{4t^2\cdot (1+t^2)}{(1-t^2)^2\cdot (1-t^2)}}\text{dt}$ a po úpravách mi vyšlo $\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1-t^2}{t^2}\text{dt}$ , což pak vede na integrál $\frac{1}{2}\int_{}^{}(\frac{1}{t^2}-1)\text{dt}$ . Postupuji správně?

vlado_bb · 21. 05. 2018 09:56

↑ Kája2: A overil si si, ci funkcia, ktoru si dostal, je primitivnou funkciou k $\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}$ ?

Kája2 · 21. 05. 2018 12:38

↑ vlado_bb:
Ano, po všech možných úpravách ano ;-)

laszky · 21. 05. 2018 14:59

↑ Kája2:

Ahoj,

$t=\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x} = \frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+1}+1}{\sqrt{x^{2}+1}+1} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+1}$ ,

takze $-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t}+t\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{(\sqrt{x^2+1}+1)+(\sqrt{x^2+1}-1)}{x} = -\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$ .

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2018 08:19 — Editoval Kája2 (21. 05. 2018 08:50)

Integrál - výsledný tvar

#2 21. 05. 2018 08:51

Re: Integrál - výsledný tvar

#3 21. 05. 2018 09:51 — Editoval Kája2 (21. 05. 2018 11:19)

Re: Integrál - výsledný tvar

#4 21. 05. 2018 09:56

Re: Integrál - výsledný tvar

#5 21. 05. 2018 10:17 Příspěvek uživatele Kája2 byl skryt uživatelem Kája2. Důvod: Omyl

#6 21. 05. 2018 12:38

Re: Integrál - výsledný tvar

#7 21. 05. 2018 14:59

Re: Integrál - výsledný tvar

Zápatí