Matematické Fórum

robin844 · 21. 05. 2018 16:23

Prosím o pomoc s tímto příkladem.

Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je 360 cm2, jeho objem 400 cm3. Určete délku hrany podstavy a výšku tělesa.

Děkuji za rady.

Rumburak · 21. 05. 2018 16:53

↑ robin844:
Ahoj.
Pomocí příslušných geometrických vzorců sestavíš soustavu dvou rovnic
o dvou neznámých, jimiž budou délka podstavné hrany a výška jehlanu.

robin844 · 21. 05. 2018 17:15

↑ Rumburak: O to jsem se snažil, bohužel bezúspěšně. Nějaký návod by nebyl prosím?

sqrt(211) · 21. 05. 2018 18:56

Se vztahem mezi objemem, obsahem podstavy a výškou asi problém nebude.
Ten povrch je složitější - obsah podstavy vyjádříš snadno z hrany podstavy, obsah pláště se vyjadřuje pomocí hrany podstavy a výšek trojúhelníků tvořících plášť. Abys mohl určit tyto výšky, je nutné určit nejdřív hrany pláště, které lze vyjádřit Pythagorovou větou z výšky jehlanu a poloviny úhlopříčky podstavy.

gadgetka

Pravidelný čtyřboký jehlan má za podstavu čtverec o hraně "a". Objem se vypočítá ze vzorce

$V=\frac 13 a^2\cdot v$

Povrch vypočítáš podle vzorce:

$S = S_p + S_{pl}=a^2+4\cdot \frac{a\cdot v_a}{2}=a^2+2 a v_a$

Pláštěm jsou 4 trojúhelníky se základnou délky "a" a stěnovou výškou, kterou vypočítáš podle Pythagorovy věty z pravoúhlého trojúhelníku, kde odvěsnami jsou výška jehlanu a polovina podstavné hrany "a" a přeponou je ona tělesová výška. Dosadíš, sestavíš dvě rovnice o dvou neznámých, jak už ti radil Rumburak, vypočítáš "a" a "v" a máš hotovo. :)

robin844 · 21. 05. 2018 20:10

↑ gadgetka: Děkuji, ale bohužel mi stále vyházejí nesmyslné rovnice :(

Jj · 21. 05. 2018 20:57

Jak radila kolegyně ↑ gadgetka:, sestavit a řešit rovnice

$a^2v = 1200$ ,
$a^2 + 2a\sqrt{a^2/4+v^2}=360$

$2a\sqrt{a^2/4+v^2}=360-a^2\quad\quad |^2$
...
$a^4+4a^2v^2=360^2-720a^2+a^4$
...
$a^2(v^2+180)= 32400$ , dosadit $a^2 = 1200/v$ z první rovnice
...
...
$v^2-27v+180=0$ ---> spočítat v1,2; dopočítat a1,2; udělat zkoušku.