Matematické Fórum

Peter_CSR

Zdravíčko,

majme 2 priamky v $R^3$ :

p: $a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0$ , $a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0$

q: $a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z + d_{3} = 0$ , $a_{4}x + b_{4}y + c_{4}z + d_{4} = 0$

Ako zistím ich vzájomnú polohu užitím hore uvedených rovníc?

Mohol by som vytypovať nejaké body $A, B$ patriace každej priamke, určiť smerový vektor, napísať parametrické rovnice a tie porovnať, ale tento postup nechcen. Chcel by som využiť pramo všeobecné rovnice.

Ďakujem.

- Pepe the Frog

Ferdish

Priamka sa v $R^3$ nedá zapísať všeobecne, len parametricky. Takže mi nejako uniká, ako chceš dospieť k riešeniu IBA s použítím všeobecných rovníc...

misaH · 24. 05. 2018 23:32 — Editoval misaH (24. 05. 2018 23:33)

↑ Ferdish:

Ahoj.

:-)

Dá sa zapísať ako prienik dvoch rovín, to je všeobecný zápis.

(A veď keď chce, tak ho nechaj, nech rieši...)

laszky · 24. 05. 2018 23:41 — Editoval laszky (25. 05. 2018 09:52)

↑ Peter_CSR:

Rovnice lze zapsat jako soustavu $\mathbb{A}\boldsymbol{w}=\boldsymbol{r}$ , kde

$\boldsymbol{w} = (x,y,z)^T$ , $\boldsymbol{r}=-(d_1,d_2,d_3,d_4)^T$ a

$\mathbb{A} = \begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3\cr a_4&b_4&c_4\end{pmatrix}$ .

Predpokladejme, ze oba dva pary rovnic skutecne definuji primky, pak se jedna o soustavu 4 rovnic o trech neznamych s matici $\mathbb{A}$ splnujici $\mathrm{hod}(\mathbb{A})\geq 2$ . Ta muze mit 0, 1, nebo nekonecne mnoho reseni:

a) Pokud $3=\mathrm{hod}(\mathbb{A})=\mathrm{hod}(\mathbb{A}|\boldsymbol{r})$ , ma podle Frobeniovy vety soustava prave jedno reseni a primky jsou tedy ruznobezky lezici v jedne rovine.

b) Pokud $2=\mathrm{hod}(\mathbb{A})=\mathrm{hod}(\mathbb{A}|\boldsymbol{r})$ , potom jsou primky totozne.

c) Pokud $2=\mathrm{hod}(\mathbb{A})<\mathrm{hod}(\mathbb{A}|\boldsymbol{r})$ , potom jsou primky rovnobezne ruzne.

d) Pokud $3=\mathrm{hod}(\mathbb{A})<\mathrm{hod}(\mathbb{A}|\boldsymbol{r})$ , potom jsou primky mimobezne.