Matematické Fórum

lucyje · 27. 05. 2018 21:19

Hezký večer,
nemůžu přijít na konvergenci jedné řady. Tedy docházím k opačnému výsledku. Jedná se o tuto:
$\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{ln\sqrt{n}}{n}$
Podle d'Alembertova podílového kritéria platí, ze pokud existuje u rady s kladnými členy limita
$L = \lim_{n\to+\infty }\frac{a(n+1)}{a(n)}$
a je menší jak 1, tak řada konverguje.

Tedy jsem si vyjádřila $L = \frac{ln\sqrt{n+1}- ln\sqrt{n}}{n+1-1} = \ln \sqrt{\frac{n+1}{n}}=0$

Mela by tedy konvergovat. Dle vysledku diverguje. Prozradíte prosím, kde jsem udelala chybu?

Stýv · 27. 05. 2018 21:23

Jak jsi přišla na $L = \frac{ln\sqrt{n+1}- ln\sqrt{n}}{n+1-1}$ ?

lucyje · 27. 05. 2018 21:27

Já jsem ale tele. To je Stolzuv vzorec u posloupností. Tak v tom případě vůbec nevím jak na to.

Stýv · 27. 05. 2018 21:33

Co víš o harmonické řadě?

Aspro1 · 27. 05. 2018 21:37

Mně to vychází jinak.

$L = \lim_{n\to+\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to+\infty }\frac{\text{ln} \sqrt{n + 1}}{\text{ln} \sqrt{n}} \cdot \frac{n}{n + 1} = \lim_{n\to+\infty }\frac{\frac{1}{2} \text{ln } (n + 1)}{\frac{1}{2} \text{ln } n} \cdot \frac{n}{n + 1}$

Obávám se, že výsledek bude takový, že nebude možné d’Alembertovo podílové kritérium použít.

lucyje · 27. 05. 2018 21:38

O harmonické řadě jsem si teď zjistila, ze přestože splňuje nutnou podminku, tak diverguje (předtím nic). To je asi to, co hledám?

Aspro1 · 28. 05. 2018 06:04

↑ lucyje: Ano. Pro dostatečně velké hodnoty $n$ (když $\sqrt{n} > \text{e}$ ) platí určitá nerovnost mezi členy zkoumané řady a členy harmonické řady.

Matematické Fórum

#1 27. 05. 2018 21:19

konvergence

#2 27. 05. 2018 21:23

Re: konvergence

#3 27. 05. 2018 21:27

Re: konvergence

#4 27. 05. 2018 21:33

Re: konvergence

#5 27. 05. 2018 21:37

Re: konvergence

#6 27. 05. 2018 21:38

Re: konvergence

#7 28. 05. 2018 06:04

Re: konvergence

Zápatí