Matematické Fórum

nopelik · 29. 05. 2018 10:23

Na okolí bodu (0,1,0) je rovnicí sinz + x^2y-xz=0 implicitně definovaná fce dvou proměnných z = f(x,yú. Určete hodnotu f(0,1). Je tato hodnota lokálním minem, maximem fce f?

Postupovala jsem tak:
$\frac{\partial z}{\partial x} = (2xy -z)/(x-cosz)$ $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x^{2}}{x-cosz}$ $\frac{\partial ^{2}z}{\partial x^{2}} = \frac{(2y -\frac{\partial z}{\partial x})*(x-cosz) - (2xy -z)*(1+sinz\frac{\partial z}{\partial x}}{(x-cosz)^{2}}$ $\frac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}= \frac{(2x-\frac{\partial z}{\partial y})(x-cosz)-(2xy-z)(sinz\frac{\partial z}{\partial y})}{(x-cosz)^{2}}$ $\frac{\partial ^{2}z}{{\partial xy} }=\frac{(2x-\frac{\partial z}{\partial y})*(x-cosz)-(2xy-z)(cosz\frac{\partial z}{\partial y })}{(x-cosz)^{2}}$

nevím, kde dělám chybu druhá derivace podle y má vyjít -2 a druhá derivace x podle y 0. Mohl byste mi s tím někdo prosím pomoci. Děkuji

Rumburak

↑ nopelik:
S tím derivováním bych nepospíchal, začněme jednoduššími úkoly.

Především se má určit hodnota f(0,1). Kolik To vyšlo ?

nopelik · 29. 05. 2018 10:57

↑ Rumburak:
f(o,1)=0

B84U · 30. 05. 2018 15:32 — Editoval B84U (30. 05. 2018 16:32)

Pokud je to stále aktuální tak pro derivace druhého řádu implicitní funkce ve stacionárním bodě (bod, který je podezřelý z toho, že je extrém), platí vzorec pro snažší výpočet druhé drivace:
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=-\frac{\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}}{\frac{\partial G}{\partial z}}$ ,
kde $G$ je zadávající implicitní výraz.
Upozorňuji, že tento vzorec platí jenom ve stacionárních bodech!

EDIT: Potom co jsem to přepočítal tak mi to vychází takhle:
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(0,1,0)=-2$
$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(0,1,0)=0$
$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}(0,1,0)=0$
Což by myslím mělo být správně. Je možné, že je tam chyba v tom uvedeném řešení?

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2018 10:23

Implicitní fce dvou proměnných

#2 29. 05. 2018 10:52 — Editoval Rumburak (29. 05. 2018 10:53)

Re: Implicitní fce dvou proměnných

#3 29. 05. 2018 10:57

Re: Implicitní fce dvou proměnných

#4 29. 05. 2018 11:50 Příspěvek uživatele akym22 byl skryt uživatelem akym22.

#5 30. 05. 2018 15:32 — Editoval B84U (30. 05. 2018 16:32)

Re: Implicitní fce dvou proměnných

Zápatí