Matematické Fórum

ld98 · 29. 05. 2018 16:49

Ahoj, vůbec nevim, jak sečíst řady jako:
$\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n}{3^{2n+2}}$

Tuším, že nejdřív je potreba vytvořit mocninou řadu. Stačí to pouze vynásobit $x^{n}$ ? Vím, že to pak bude potrena derivovat, případně integrovat, abych se dostal na něco, co znám. Ale moc nevím jak, když tam není žádné x. Díky!

laszky · 29. 05. 2018 16:56

↑ ld98:

Ahoj, kdyz oznacis $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n}{3^{2n+2}}x^{n-1}$ , cemu se rovna $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ ?

ld98 · 29. 05. 2018 17:03

A proč zrovna je to $x^{n-1}$ ? protože se mi to hodí a vytknul jsem si x před sumu?
Jinak integrálem pokrátíme n a dostaneme:

$\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{x^{n}}{3^{2n+2}}$

Dá se to pak převést třeba takhle?

$\frac{1}{9}\sum_{n=1}^{+\infty }(\frac{x}{9})^{n}$

Asi je to blbost, ale vede to na geometrickou řadu. Ale dle výsledků mi to nevychází.

laszky · 29. 05. 2018 17:05 — Editoval laszky (29. 05. 2018 17:06)

↑ ld98:

Ano, tak je to dobre, tu radu ale uz umis secist, ne? ;-)

Ano, $x^{n-1}$ je tam proto, aby se "odstranilo" to $n$ .

ld98 · 29. 05. 2018 17:11

A proč prosím $x^{n-1}$ ? chápu, že se mi to tak hodí. Ale to můžu jen takhle beztrestně udělat? Nemusím to někde vykompenzovat?

$\frac{1}{9}\frac{1}{1-\frac{x}{9}} = \frac{1}{9-x}$

Dle výsledků to má vyjít 1/64. Jak se dostanu k tomuhle číslu?

laszky · 29. 05. 2018 17:13 — Editoval laszky (29. 05. 2018 17:15)

↑ ld98:

Tu radu jsi secetl spatne, scita se od 1, ne od 0. Kompenzovat nemusis ;-)

Pozn.: Cilem je odvodit predpis pro funkci f neobsahujici sumu a pak spocitat f(1), nebo $\lim_{x\to1-}f(x)$ .

ld98 · 29. 05. 2018 17:16

A můžu se zeptat jak má být správný součet? Kde se projevuje, že jsem sčítal od 0 a ne od 1? (V zadání řady mám od 1)

laszky · 29. 05. 2018 17:19

↑ ld98:

Pro $|q|<1$ je

$\sum_{n=0}^{+\infty }q^{n} = \frac{1}{1-q}$

$\sum_{n=1}^{+\infty }q^{n} = \frac{q}{1-q}$

ld98 · 29. 05. 2018 17:39

Aha, díky moc. Je mi to sice blbý, ale potřeboval bych vědět ještě jeden:

$\sum_{n=0}^{+\infty } \frac{3^{2n+1}}{(2n+1)*5^{2n+1}}$

Má to vyjít ln(2) a mně vrtá hlavou, že když je

$\ln (x+1) = \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n}*x^{n}$

jak tam dostanu tu (-1)^něco.

Mám si posunout index od 1, když se sčítá od ní? Pak bych měl:
$\sum_{n=0}^{+\infty } \frac{3^{2n-1}}{(2n-1)*5^{2n-1}}$

můžu si zvolit $x^{2n-1}$ abych se derivováním zbavil toho jmenovatele?

a šlo by pak:
$\frac{5}{3}\sum_{n=0}^{+\infty } (\frac{3x}{5})^{2n}$

To se mi zdá, že ale vede na geometrickou řadu než na logaritmus...

laszky · 29. 05. 2018 18:22 — Editoval laszky (29. 05. 2018 23:12)

↑ ld98:

Vede to na integrovani nejakeho zlomku, z cehoz by mohl vyjit logaritmus ;-)

A mohl bys sem napsat, jak jsi dopocital ten predchozi priklad (pro ty co to budou nekdy v budoucnu cist)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jarrro · 03. 06. 2018 00:43

Nie je jednoduchšie v prvej úlohe uvažovať rad
$\sum_{n=1}^{\infty}{nx^{n+1}}$ a spočítať hodnotu v $\frac{1}{9}$
?
A v druhom $\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}$ a počítať hodnotu v bode $\frac{3}{5}$ ?

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2018 16:49

sčítání řad

#2 29. 05. 2018 16:56

Re: sčítání řad

#3 29. 05. 2018 17:03

Re: sčítání řad

#4 29. 05. 2018 17:05 — Editoval laszky (29. 05. 2018 17:06)

Re: sčítání řad

#5 29. 05. 2018 17:11

Re: sčítání řad

#6 29. 05. 2018 17:13 — Editoval laszky (29. 05. 2018 17:15)

Re: sčítání řad

#7 29. 05. 2018 17:16

Re: sčítání řad

#8 29. 05. 2018 17:19

Re: sčítání řad

#9 29. 05. 2018 17:39

Re: sčítání řad

#10 29. 05. 2018 18:22 — Editoval laszky (29. 05. 2018 23:12)

Re: sčítání řad

#11 03. 06. 2018 00:43

Re: sčítání řad

Zápatí