#1 23. 05. 2018 20:19
diferenciální počet funkcí více proměných
Ahoj, potřebuju poradit!
Mám rozhodnout, jestli je funkce v bodě diferencovatelná, vím že stačí by v tom bodě měla spojité parciální derivace, ale jak to mám zjistit? Ještě jsem našla vzoreček s limitou, kde si vyjádřím chybu aproximace a ta limita musí jít k nule, ale nevínm jak ten vzoreček použít. Pro jistotu zkopíruju celý zadání.
(0.5 bodu) Rozhodněte a zdůvodněte, jestli je funkce F(x, y) = (x+y) sin(xna druhou minus y na druhou)
) diferencovatelná
v bodě [1, 1]. Pokud ano, určete její diferenciál dF(1, 1)(dx, dy).
Offline
#2 24. 05. 2018 01:35 — Editoval laszky (24. 05. 2018 06:25)
Re: diferenciální počet funkcí více proměných
↑ duska:
Ahoj,
, pokud limity existuji.
v bode 
, tj.![$\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x-x_0}\{f(x)-\Bigr[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\Bigr] \} =\lim_{h\to0} \frac{1}{h}\Bigr(f(x_0+h) - \Bigr[f(x_0)+f'(x_0)h\Bigr] \Bigr) = 0$](/mathtex/91/91ad2b487f166c48adfaf3d8b67d0120.gif "kopírovat do textarea")
,
.
,![$\boldsymbol{x}_0=[x_0,y_0]$](/mathtex/38/38790938ab795388ce0d6a160d4378c3.gif "kopírovat do textarea")
a smer 
, 
.
jako 
, potom 
.
aproximuje funkci ![$[x_0,y_0]$](/mathtex/88/886cc999fd9d89ef14ee01db805cbe10.gif "kopírovat do textarea")
, tj.![$\lim_{[x,y]\to [x_0,y_0]}\frac{f(x,y)-[a(x-x_0)+b(y-y_0)+f(x_0,y_0)]}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} = 0$](/mathtex/d3/d37f33865aa67fb556eaee0bd444f735.gif "kopírovat do textarea")
,![$ \lim_{[{h}_1,{h}_2]\to[0,0]} \frac{f(x_0+{h}_1,y_0+{h}_2)-[a{h}_1+b{h}_2+f(x_0,y_0)]}{\sqrt{{h}_1^2+{h}_2^2}} = 0\qquad(*)$](/mathtex/89/89e8aaa4bcbd57f9a03e037166881337.gif "kopírovat do textarea")
, 
a 
.
a fixujeme-li (jednotkovy) smer 
, vidime, ze dokazujeme![$ \lim_{t\to 0} \frac{f(\boldsymbol{x}_0+t\boldsymbol{h})- [t\boldsymbol{h}\cdot\nabla f(\boldsymbol{x}_0)+f(\boldsymbol{x}_0)]}{t} =\lim_{t\to 0} \{\frac{f(\boldsymbol{x}_0+t\boldsymbol{h})-f(\boldsymbol{x}_0)}{t} - \boldsymbol{h}\cdot\nabla f(\boldsymbol{x}_0)\} =0 $](/mathtex/fe/fe80b15f3caa72d0ef320a268dd4cd0f.gif "kopírovat do textarea")
pro libovolne 
) a nasledne dokazujes limitu (*). Pokud se ti to povede, potom je fce f v bode 
, 
a Chteji po tobe ukazat, ze
![$\lim_{[h_1,h_2]\to[0,0]} \frac{\bigr((1+h_1)+(1+h_2)\bigr)\sin\bigr((1+h_1)^2-(1+h_2)^2\bigr)-4(h_1-h_2)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = 0$](/mathtex/07/078a5dc663669e445bdae511d38a26cd.gif "kopírovat do textarea")
.Pokud to plati, potom je
. Pokud limita nevyjde 0 (resp. neexistuje), potom neni F v bode [1,1] diferencovatelna.Pozn.: Dokazat spojitost parcialnich derivaci je v tomto pripade urcite lehci - jedna se o soucin a slozeni spojitych funkci. ;-)
Offline