Matematické Fórum

Tse · 29. 05. 2018 19:10

Dobrý den,
řeším soustavu dvou rovnic:
$\frac{x^{2}}{y}-\frac{y^{2}}{x}=12$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$
Zajímalo by mě, jestli existuje nějaký způsob řešení, který by nevedl na kubickou rovnici nebo na rovnice ještě vyšších stupňů. Zkoušela jsem najít nějaké vhodné substituce, ale nic, co by vedlo k cíli, mě nenapadlo.
Děkuji

laszky · 29. 05. 2018 19:28 — Editoval laszky (29. 05. 2018 19:30)

↑ Tse:

Pomocny obrazek:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Tse · 29. 05. 2018 20:50

↑ laszky:Jo, to jsem si v Geogebře vykreslila taky, ale jak to vypočítat? Řešení není zrovna celočíselné...

laszky · 29. 05. 2018 22:39

↑ Tse:

Software spocita presne reseni obsahujici spousty odmocnin. Priblizna hodnota je

$[-4.507555749260355, 1.801207703201314]$ a
$[8.29922858002742, 4.698360405497631]$ .

MichalAld · 29. 05. 2018 23:32

Podle grafu to má 3 řešení, takže bych řekl, že to musí vést na rovnici alespoň 3. řádu

jelena · 30. 05. 2018 11:42

Zdravím,

↑ MichalAld: kolega ↑ laszky: má graf pro upravený tvar rovnic (řešení 0, 0 nejspíš řešením nebude), je tak? Děkuji.

↑ Tse: nemůže být problém se zadáním, odkud je úloha? Děkuji.

Tse · 30. 05. 2018 20:52

↑ jelena: (0;0) opravdu řešením být nemůže, řešení (reálná) by měla být dvě. Odkud úloha je, to nevím - dostali jsme jen pdf se vzorovými příklady. Ale je pravda, že tento jediný je v podílovém tvaru, tak se tam možná připletl omylem...

Tse · 30. 05. 2018 20:56

↑ MichalAld: Ony i rovnice vyšších stupňů se dají řešit bez kubických vzorců, jen musí být zadání "příznivé" - třeba když jde použít nějaká vhodná substituce apod. Jen musí mít člověk ten nápad - a v tomhle případě je tedy moje představivost krátká...

Bati · 30. 05. 2018 22:16

↑ Tse:
ta prvni rovnice nazanacuje, ze funkce sinh, cosh by mohly mit uspech. Po drobnych experimentech s mocninami vyjde, ze pokud substituujeme
$x=a\cosh^{\frac43}t\sinh^{\frac23}t=aC^2S$
$y=a\cosh^{\frac23}t\sinh^{\frac43}t=aCS^2$
(a pokud je toto validni substituce (neoveroval jsem)),
pak prvni rovnice rika je ekvivalentni s
$a=12$ .

Otazka je, co s tou druhou, ta je pak ve tvaru
$\frac1{C}+\frac1S=4CS$
a tady jeste nevim..

jelena · 30. 05. 2018 23:46

↑ Tse:

děkuji, podílový tvar není problém (již v základních metodách řešení soustav se bere použití substituce $1/x=a$ ), ale že výsledek nepůsobí "přesvědčivě" - jen přeměnou znaménka v první rovnici $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}=12$ výsledek vypadá "lépe". Na fóru již byla diskuse, jak nepěkný může ještě být pěkný výsledek :-)

Tedy pro jistotu ověřit si zadaní u toho, kdo vám předal a zda se předpokládá výsledek v takovém tvaru. Jinak po úpravě (původního zadání) na tvar $x^3-y^3=12xy$ dosazování není náročné, bohužel v závěru vede na tvar k řešení.

dostali jsme jen pdf se vzorovými příklady.

Hodně mi připomíná našeho Skanavi (kapitola 6 cca po 106 str, prolistovat do soustav).

↑ Bati: ještě bych se přimlouvala za kontrolu zadání.

Zdravím.

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2018 19:10

Soustava dvou nelineárních rovnic

#2 29. 05. 2018 19:17 Příspěvek uživatele kerajs byl skryt uživatelem kerajs. Důvod: xxx

#3 29. 05. 2018 19:28 — Editoval laszky (29. 05. 2018 19:30)

Re: Soustava dvou nelineárních rovnic

#4 29. 05. 2018 19:34 — Editoval kerajs (29. 05. 2018 19:36) Příspěvek uživatele kerajs byl skryt uživatelem kerajs. Důvod: xx

#5 29. 05. 2018 20:50

Re: Soustava dvou nelineárních rovnic

#6 29. 05. 2018 22:39

Re: Soustava dvou nelineárních rovnic

#7 29. 05. 2018 23:32

Re: Soustava dvou nelineárních rovnic

#8 30. 05. 2018 11:42

Re: Soustava dvou nelineárních rovnic

#9 30. 05. 2018 20:52

Re: Soustava dvou nelineárních rovnic

#10 30. 05. 2018 20:56

Re: Soustava dvou nelineárních rovnic

#11 30. 05. 2018 22:16

Re: Soustava dvou nelineárních rovnic

#12 30. 05. 2018 23:46

Re: Soustava dvou nelineárních rovnic

Zápatí