Matematické Fórum

jaryss · 05. 06. 2018 01:22

Ahoj,

může mi prosím někdo poradit jak z této funkce dostat reálnou a imaginární část?

$f(z)=e^{z+2i}=e^{z}\cdot e^{2i}$

$e^{2i}= 1(cos2+isin2)$
$e^{z}=???$
dál nevím :-/

laszky · 05. 06. 2018 03:40

↑ jaryss:

Ahoj, pokud $z=a+bi$ , potom $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ , a $\mathrm{arg}z = \mathrm{arctg}\, \frac{b}{a}$ .

Takze

$z = |z|\bigr(\cos(\mathrm{arg}z) + i\sin(\mathrm{arg}z)\bigr)$ ,

a proto

$\mathrm{e}^{z+2i} = \mathrm{e}^{|z|\cos(\mathrm{arg}z) + i\bigr(|z|\sin(\mathrm{arg}z)+2\bigr)}= \mathrm{e}^{|z|\cos(\mathrm{arg}z) } \cdot \Bigr(\cos\bigr(|z|\sin(\mathrm{arg}z)+2 \bigr) + i\sin\bigr(|z|\sin(\mathrm{arg}z)+2 \bigr)\Bigr)$ .

Z toho uz snadno zjistis imaginarni a realnou cast ;-)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Aspro1 · 05. 06. 2018 06:13

↑ laszky:
$\mathrm{arg}\, z = \mathrm{arctg}\, \frac{b}{a}$

Toto můžeme psát jenom za podmínky, že $a \neq 0$ . Když $a = 0$ , potom $\mathrm{arg}\, z = \frac {\pi}{2} \cdot \mathrm{sgn}\, b$ .

jaryss · 05. 06. 2018 11:06 — Editoval jaryss (05. 06. 2018 11:09)

je to takto správně?
$Re(z)=\mathrm{e}^{|z|\cos(\mathrm{arg}z) } \cdot \Bigr(\cos\bigr(|z|\sin(\mathrm{arg}z)+2 \bigr))$

$Im(z)=\mathrm{e}^{|z|\cos(\mathrm{arg}z) } \cdot \Bigr( i\sin\bigr(|z|\sin(\mathrm{arg}z)+2 \bigr)\Bigr)$

jak bude vypadat pro tento příklad $|z|$ ?

Aspro1 · 05. 06. 2018 12:06 — Editoval Aspro1 (05. 06. 2018 12:31)

↑ jaryss:Na levých stranách máš mít $\mathrm{Re } f(z), \mathrm{Im } f(z)$ . Na pravé straně musíš odstranit to íčko, protože reálná i imaginární část komplexního čísla jsou reálná čísla.

Máš na mysli otázku, jak bude vypadat $|f(z)|$ ?

$|f(z)| = |\mathrm{e}^z| \cdot |\mathrm{e}^{2\mathrm{i}}| = |\mathrm{e}^{\mathrm{Re } z + \mathrm{i} \cdot \mathrm{Im } z}| \cdot |\mathrm{e}^{2\mathrm{i}}| = |\mathrm{e}^{\mathrm{Re } z}| \cdot |\mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot \mathrm{Im } z}| \cdot |\mathrm{e}^{2\mathrm{i}}| = |\mathrm{e}^{\mathrm{Re } z}| \cdot 1 \cdot 1 = |\mathrm{e}^{\mathrm{Re } z}| = \mathrm{e}^{\mathrm{Re } z}$

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2018 01:22

reálná a imaginární část funkce

#2 05. 06. 2018 03:40

Re: reálná a imaginární část funkce

#3 05. 06. 2018 06:13

Re: reálná a imaginární část funkce

#4 05. 06. 2018 11:06 — Editoval jaryss (05. 06. 2018 11:09)

Re: reálná a imaginární část funkce

#5 05. 06. 2018 12:06 — Editoval Aspro1 (05. 06. 2018 12:31)

Re: reálná a imaginární část funkce

Zápatí