Matematické Fórum

M4ZZY · 11. 05. 2009 18:54

Dobrý den. Mohl by mi prosím vás někdo lajcky vysvětlit co to sou ty lagrangeovy multiplikátory? Vím že slouží k výpočtu vázaných extrémů ale nevím proč to tak je. Díky moc

Marian · 11. 05. 2009 20:47

↑ M4ZZY:
Možná pomůže toto.

M4ZZY · 11. 05. 2009 21:52

↑ Marian:
No bohhužel ani ne :-D já nejsem moc nadaný matematik a v těch definicích se moc nevyznám v češtině natož v angličtině. Ale děkuji za snahu :)

Rumburak

Ukážeme si to na funkcích dvou proměnných.
Mějme křivku o rovnici

(1) g(x,y) = 0

a funkci z = f(x,y) , která v bodě W = [u, v] křivky (1) nabývá vzhledem k této křivce svého lokálního extrému f(W)
a nechť jsou splněny i další předpoklady věty o L.m. Dejme tomu, že rovnicí

(2) f(x,y) = f(W)

je určena křivka - tato pak rovněž prochází bodem W. Rovnice

grad f(W) = k* grad g(W)

doslova říká, že normálový vektor křivky (2) v bodě W je rovnoběžný s normálovým vektorem křivky (1) v tomtéž bodě.
Takže obě křivky mají v bodě W společnou tečnu a tudíž nenastává situace, aby se křivky protínaly pod nějakým nenulovým úhlem.
Taková situace by totiž nutně znamenala, že v nějakém okolí bodu W je po jedné straně křivky (2) (např. nalevo od ní) f(x,y) > f(W),
zatímco po její druhé straně (tedy napravo od ní) f(x,y) < f(W), takže pokud by se bod [x,y] pohyboval po křivce (1), pak
přechodem přes bod W by výraz f(x,y) - f(W) měnil znaménko, což je ve sporu s předpokladem, že v bodě W nastává extrém.

Toto je pouze názorná idea, provést korektní důkaz obecné věty do technických podrobností není úplně snadné.

m.sey · 28. 05. 2018 11:06 — Editoval m.sey (28. 05. 2018 11:06)

Rád bych se ještě zeptal ohledně začátku důkazu: předpokládáme, že první podmínka (nulovost gradientu) neplatí, tedy chceme aby platila druhá podmínka: $\frac{\partial f}{\partial x}(\tilde x,\tilde y)+\lambda \frac{\partial g}{\partial x}(\tilde x,\tilde y)=0$ Předpokládáme tedy nenulovost $\frac{\partial g}{\partial y}(\tilde x,\tilde y)$ .

Pak nerozumím tvrzení, že pokud by tato parciální derivace byla nulová, pak by muselo být $\frac{\partial g}{\partial x}(\tilde x,\tilde y)\not =0$ a celý další postup by byl stejný až na výměnu $x$ a $y$ .