Matematické Fórum

CanLup · 22. 05. 2009 14:17

Zdravím,
potřeboval bych zkontrolovat tento příklad:

délka křivky daná parametricky:

x=2-t^2
y=t^3

není zadán rozsah parametru!!!

grafem je tato křivka:

definiční obor je tedy: (- nekonečno;2>

délka křivky vede na integrál od -nekonečna po 2, který mi vyšel roven nekonečnu.

Je to tak správně?

díky za pomoc.

lukaszh · 22. 05. 2009 14:35

↑ CanLup:
Áno, myslím, že to je zrejmé aj z obrázka. Počítaš dĺžku niečoho, čo nemá koniec, tak je jasné, že to bude nekonečno. Na to predsa nepotrebuješ ani integrál.

CanLup · 22. 05. 2009 14:46

↑ lukaszh:↑ lukaszh:

Jasně nepotřebuju, ale mám to zadané abych to spočítal integrálem...

Rumburak

Interval (- nekonečno;2> má být definičním oborem čeho ?
Pakliže některé z funkcí $f(x) = (2-x)^{\frac 3 2}$ , $g(x) = - (2-x)^{\frac 3 2}$ ,
pak jistě ano.
Je zřejmé, že křivka má nekonečnou délku, pokud neomezíme parametr t shora i zdola.

EDIT: Pokud je požadováno spočítat délku integrálem, pak použijeme vzoreček
$L = \int_{-\infty}^{\infty}\sqrt {x'^2(t)+y'^2(t)}\,\text{d} t$

CanLup · 22. 05. 2009 14:57

↑ Rumburak:
Ještě jsem nad tím přemýšlel, a nějak se mi to nezdálo. Pokud nemám omezený parametr, měl bych tedy integrovat od -nek. do +nek.
Je to tak?

Rumburak · 22. 05. 2009 15:00

↑ CanLup:
Ano. Součaně z Tvojí otázkou jsem to doplnil do svého předchozího příspěvku.

CanLup · 22. 05. 2009 15:05

↑ Rumburak:
Dobrá, zkusil jsem to:

po integraci před dosazením mezí vychází výraz:

1/27*odmocnina[(4+9t^2)^3]

pokud meze dosadím, vychízí mi 0 !?

Rumburak

↑ CanLup:

Máme-li $x(t) = 2 - t^2, \,\, y(t) = t^3$ , potom

$L = \int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt {x'^2(t)+y'^2(t)}\,\text{d} t = \int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt {(-2t)^2 +(3t^2)^2}\,\text{d} t = \int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt {4t^2 + 9t^4}\,\text{d} t =\int_{-\infty}^{+\infty}|2t|\sqrt {1 + (\frac {3t}{2})^2}\,\text{d} t =$
$=\frac{4}{3}\int_{-\infty}^{+\infty}|\frac {3t}{2}|\sqrt {1 + (\frac {3t}{2})^2}\,\text{d} t = \frac{8}{3}\int_{0}^{+\infty}\frac {3t}{2}\sqrt {1 + (\frac {3t}{2})^2}\,\text{d} t$ (poslení úprava plyne z toho, že integrant v předposledním integrálu je sudá funkce.
V posledním integrálu použijeme odhad $\sqrt {1 + (\frac {3t}{2})^2} \,>\, \frac {3t}{2}$ a tím obdržíme

$L \,\ge\, \frac{8}{3}\int_{0}^{+\infty}(\frac {3t}{2})^2\,\text{d} t$ .

Ukázat výpočtem, že integrál v poslední nerovnosti má hodnotu $+\infty$ , už není těžké.
Místo odhadu jsme mohli přesně dopočítat původní integrál, čímž bychom dospěli k témuž výsledku, ale poněkud pracněji.

Pozn. Tebou nalezená primitivní funkce $\frac{1}{27}(4 + 9t^2)^{\frac{3}{2}}$ má derivaci $t\sqrt{4 + 9t^2}$ ,
což pro t < 0 není totéž, co $\sqrt{4t^2 + 9t^4}$ , čili meze jsi dosadil do něčeho, co k integrované funkci není PF na celém intervalu (-oo, +oo),
proto Ti to vyšlo špatně.