Matematické Fórum

Marthulaida · 05. 06. 2018 15:05

Zdravím, pomohli byste mi prosím dopočítat tento příklad? Část mám hotovou (snad dobře, výsledky neznám), ale nevím si rady s poslední částí:

0,5 % lidí má rakovinu -> $P(R) = 0.05$
Když má osoba rakovinu, vyjde při testu pozitivní výsledek s pstí 0,99 -> $P(V^{+}|R) = 0.99$
Když nemá rakovinu, vyjde negativní výsledek s pstí 0,95 -> $P(V^{-}|Z) = 0.95$ -> $P(V^{+}|Z) = 0.05$
Poté se počítala pravděpodobnost, že u náhodně vybrané osoby bude pozitivní výsledek, to mi vyšlo $P(V^{+}) = 0.097$

A nevím si rady s tímto: osoba měla pozitivní výsledek, byla testována podruhé a vyšel negativní výsledek. Jaká je pst, že osoba nemá rakovinu?
Myslím, že to je úloha na 2. Bayesův vzorec, tak jsem se to snažila dosazovat do vzorce:

$P(C|V^{+}) = \frac{P(R)*P(V^{+}|R)*P(C|V^{+}\cap R) + P(Z)*P(V^{+}|Z)*P(C|V^{+}\cap Z)}{P(V^{+})}$

Problém je, že nevím, co je vlastně to $C$ , a tedy ani jak spočítat $P(C|V^{+}\cap R)$ a $P(C|V^{+}\cap Z)$ .
Mám tedy jen:
$\frac{0.05*0.99*(x)+0.95*0.05*(y)}{0.097}$

Poradíte mi, jak příklad dopočítat?
Děkuji

Jj · 05. 06. 2018 17:30 — Editoval Jj (05. 06. 2018 19:38)

↑ Marthulaida:

Hezký den.

1) P(R) = 0.005 (ne 0.05), ---> P(Z) = 0.995

2) P(V+|R) = 0.99, P(V-|Z) = 0.95
P(V-|R) = 0.01, P(V+|Z)= 0.05

P(V+) mi vyšlo 0.0547

Myslím, že jev C = pacient má podle výsledků 1. testu R a je tudíž třeba spočítat

3) P(C) = ... , a P(není C) = 1 - P(C)

Řekl bych, že při druhém testu už nelze brát pacienta jako náhodně vybraného z populace popsané vztahy pod bodem 1), ale z populace popsané vztahy pod bodem 3). Vztahy popsané pod bodem 2) přitom platí i ve druhém testu.

Tudíž pro druhý test nahradit ad 3) ---> ad 1) a provést obdobně požadované výpočty.

Marthulaida · 05. 06. 2018 18:36

↑ Jj:
Jaj, chyba hned na začátku.. -_- Po opravě mi taky vyšlo P(V+) = 0.0547

Ale zase mi nevychází jiná část, kterou jsem sem předtím nepsala: pst, že má osoba rakovinu, když vyšel pozitivní výsledek testu. Brala jsem to jako Bayesův vzorec $P(R|V^{+})=\frac{P(V^{+}|R)*P(R)}{P(V^{+})}=\frac{0.99*0.005}{0.0547}$ ,
ale to teď vyjde jen něco přes 9 %, což mi přijde hodně málo.. :(

A k tomu druhému, pravděpodobnost by se podle tohoto postupu měla počítat zvlášť pro oba testy? Já jsem myslela, že když použiju ten 2. Bayesův vzorec, že to jde spočítat naráz. Jenom nevím, co tam doplnit..

Jj · 05. 06. 2018 19:01

↑ Marthulaida:

Řekl bych, že těch 9 % cca odpovídá. Hledaná pravděpodobnost ve 2. testu vyjde zase velmi příznivě, takže při problematickém prvním testu se nemá hned divočit.

No, a ten 2. vzorec, kterým "to jde spočítat naráz", mi nic neříká a pro jistotu jsem nad ním ani nekoumal.

Marthulaida · 05. 06. 2018 19:19

↑ Jj:

Jak to, že 9 % cca odpovídá? Když vyjde pozitivní výsledek, neměla by být právě vysoká pravděpodobnost, že má daná osoba rakovinu?

Ten 2. vzorec jsme se učili ve škole, takže by to podle něj mělo jít spočítat. Ale jak by to tedy šlo bez něj? Předchozímu postupu jsem příliš neporozumněla. Výsledek prvního testu, kde náhodně zvolené osobě vyjde pozitivní výsledek, je P(V+)?
Děkuji

Jj · 05. 06. 2018 20:22 — Editoval Jj (05. 06. 2018 20:26)

↑ Marthulaida:

Pouvažujte nad tím, jaké je ve výběru % zdravých lidí, tudíž jaký bude podíl falešných výsledků typu (V+|Z), pokud P(V+|Z) = 0,05. V množství možných falešných výsledků se ty možné správné asi docela ztratí. Upřesnit to může další test (testy).

... osoba měla pozitivní výsledek, byla testována podruhé a vyšel negativní výsledek. Jaká je pst, že osoba nemá rakovinu?

Po prvním testu se dále počítá s pst R a Z:

P(R) = 0.09 ---> P(Z) = 0.91

Beze změny:

P(V+|R) = 0.99, P(V-|Z) = 0.95
P(V-|R) = 0.01, P(V+|Z)= 0.05

Má se spočítat P(Z|V-) v tomto druhém testu. Řekl bych, že takto:

$P(Z|V^-)=\frac{P(V^-|Z)P(Z)}{P(V^-)}=\cdots$

Marthulaida · 05. 06. 2018 21:04

↑ Jj:

Aha, dobrá, děkuji za pomoc.

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2018 15:05

Pravděpodobnost – Bayesův vzorec?

#2 05. 06. 2018 17:30 — Editoval Jj (05. 06. 2018 19:38)

Re: Pravděpodobnost – Bayesův vzorec?

#3 05. 06. 2018 18:36

Re: Pravděpodobnost – Bayesův vzorec?

#4 05. 06. 2018 19:01

Re: Pravděpodobnost – Bayesův vzorec?

#5 05. 06. 2018 19:19

Re: Pravděpodobnost – Bayesův vzorec?

#6 05. 06. 2018 20:22 — Editoval Jj (05. 06. 2018 20:26)

Re: Pravděpodobnost – Bayesův vzorec?

#7 05. 06. 2018 21:04

Re: Pravděpodobnost – Bayesův vzorec?

Zápatí