Matematické Fórum

Marthulaida · 06. 06. 2018 10:15

Jak se dají spočítat tyto příklady?

$\sum_{x=0}^{\infty }x\cdot 0.9^{x}$
a
$\sum_{x=0}^{\infty }x^{2}\cdot 0.9^{x}$

V sešitě mám následující krok k prvnímu příkladu:
$\sum_{x=0}^{\infty }(0.9^{x})'\cdot 0.9$
a ke druhému:
$\sum_{x=0}^{\infty }[(0.9^{x})''+(0.9)^{x}\cdot x]\cdot 0.9^{2}$ ,
ale nerozumím, jak se k těm derivacím dojde.

Děkuji

Rumburak · 06. 06. 2018 10:44

↑ Marthulaida:
Ahoj. Řekl bych, že úlohy jsou úmyslně zatemněny neobvyklým označením.
Vezměme např. řadu $\sum_{x=0}^{\infty }x\cdot 0.9^{x}$ . Zkus ji vnímat jako $f(q) := \sum_{n=0}^{\infty }n\cdot q^{n}$ ,

kde kvocient $q$ je reálná (nebo obecně komplexní) proměnná s tím, že hodnotu $f(q)$
chceme zjistit pro $q = 0.9$ . Podíváme-li se na úlohu z tohoto úhlu, můžeme využít
poznatků z teorie mocninných řad (věty o poloměru konvergence a věty o derivování
a integrování jejich součtu podle kvocientu).

laszky · 06. 06. 2018 10:46

↑ Marthulaida:

Ahoj, podle ceho se derivuje? Podle x? Potom je teda $x\in\mathbb{R}$ , ale scitaci index v sume je $x\in\mathbb{N}$ ?

Suma typu

$\sum_{n=0}^{\infty }n0.9^{n}=\sum_{n=1}^{\infty }n0.9^{n}$ se resi prevedenim na mocninnou radu

$f(x):=\sum_{n=1}^{\infty }n0.9^{n}x^{n-1} = \left(\sum_{n=1}^{\infty }0.9^{n}x^n\right)' = \left(\frac{0.9x}{1-0.9x}\right)' = \frac{0.9}{(1-0.9x)^2}$ ,

Takze $f(1)=\sum_{n=1}^{\infty }n0.9^{n}=\frac{0.9}{0.01}=90$ .

Marthulaida · 06. 06. 2018 11:32

A jak se přijde na ten krok $\left(\sum_{n=1}^{\infty }0.9^{n}x^n\right)' = \left(\frac{0.9x}{1-0.9x}\right)'$ ?

Ferdish · 06. 06. 2018 11:39

↑ Marthulaida:
Podľa vzorca o súčte nekonečného geometrického radu.

laszky · 06. 06. 2018 11:40

↑ Marthulaida:

Soucet geometricke posloupnosti s kvocientem q

Kdyz scitam od 0:

$\sum_{n=0}^{\infty}q^n = \frac{1}{1-q}$

Kdyz scitam od 1:

$\sum_{n=1}^{\infty}q^n = \frac{q}{1-q}$

Marthulaida · 06. 06. 2018 11:47

↑ laszky:

Aháá :) moc děkuji :)

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2018 10:15

Mezivýpočet u sumy

#2 06. 06. 2018 10:44

Re: Mezivýpočet u sumy

#3 06. 06. 2018 10:46

Re: Mezivýpočet u sumy

#4 06. 06. 2018 11:32

Re: Mezivýpočet u sumy

#5 06. 06. 2018 11:39

Re: Mezivýpočet u sumy

#6 06. 06. 2018 11:40

Re: Mezivýpočet u sumy

#7 06. 06. 2018 11:47

Re: Mezivýpočet u sumy

Zápatí