Matematické Fórum

firework5555 · 06. 06. 2018 22:23

Dobry den ,

vedeli by ste mi prosim poradit jaku substituci nebo postup mam dat na integral 1 / (2 + tg(x)^2 ) ?

Zkousim substituovat za tg(x) nebo za tg(x)^2, nebo som rozepsal tg(x) = sin(x)/cos(x), ale nikdy to nikam nevede... budu vdacny za napovedy, dekuji, hezky vecer

laszky · 06. 06. 2018 22:31 — Editoval laszky (06. 06. 2018 23:04)

↑ firework5555:

Ahoj $t=\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)$ by mela fungovat vzdy. Je ale mozne, ze to pujde lehceji ;-)

EDIT: Substituce $t=\frac{\mathrm{tg}(x)}{\sqrt{2}}$ dava $\mathrm{d}t = \frac{1}{\cos^2(x)}\, \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2}} = \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\, \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2}} = \frac{1+\mathrm{tg}^2(x)}{1}\, \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2}}$

Takze

$\int \frac{\mathrm{d}x}{2+\mathrm{tg}^2(x)} = \int 1- \frac{1+\mathrm{tg}^2(x)}{2+\mathrm{tg}^2(x)} \, \mathrm{d}x = x - \int \frac{\sqrt{2}\mathrm{d}t}{2(1+t^2)}$