Matematické Fórum

adam150 · 12. 06. 2018 16:23

Ahoj chtěl bych se zeptat proč čitatel ve výrazu $\omega _{b}=\frac{b}{2m}$ násobíme 2? Vycházím z rovnice $y^{''}+\frac{b}{m}y^{'}+\frac{k}{m}y=0$

MichalAld · 12. 06. 2018 23:06

Tak zkus vyřešit tu rovnici. Když víme, že řešení bude ve tvaru $y=Ye^{\omega t}$ , tak po dosazení, provedení příslušných derivací a vykrácení všho co jde dostaneme rovnici tvaru:

$\omega^2 + \frac{b}{m}\omega + \frac{k}{m}=0$

to je obyčejná kvadratická rovnice. Na tu je známý vzorec

$\omega_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b}{2a}\mp \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Protože předpokládáme, že jde o rovnici tlumeného kmitání, tj. tlumení je jen mírné (když bude moc velké, tak už to kmitat nebude vůbec), tak ten výraz pod odmocninou musí být záporný, abychom dostali imaginární výsledek - ten právě vede na harmonickou funkci. A ta první část výsledku bude reálná. Takže

$\omega_b=\frac{-b}{2a}$

$\omega_a =\mp i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$

Teď už stačí jen dosadit a a,b,c a je jasné, kde se tam vzala ta dvojka (ono už je to jasné teď - pochází to z toho vzorce pro kořeny kvadratické rovnice. V našem případě a=1 a b=b/m (máme tam 2x b, ale každé znamená něco jiného, pozor na to), takže výsledek je

$\omega_b=\frac{-b}{2m}$

Ptal ses jen na tlumení, neptal ses na ten druhý člen (který může za ty harmonické kmity), takže to už dosazovat nebudu. Ještě upozorňuji na to záporné znaménko. Ono je docela důležité. Je samozřejmě jedno, jestli ho zahrneme do $\omega_b$ nebo ho napíšeme až do celkového řešení, nicméně upozorňuji na to, že za jistých okolností to může vyjít i s kladným znaménkem. U pasivního zařízení (závaží na pružině) se to stát nemůže, ale pokud tam vložíme nějaký aktivní člen (zesilovač), tak se to klidně přihodit může. A potom je to nestabilní systém. Protože exponenciála se záporným $\omega_b$ klesá s rostoucím časem k nule, zatímco s kladným $\omega_b$ roste k nekonečnu. Ale nastat mohou obecně oba případy, takže by se mělo při výpočtu dávat pozor, jak to s tím znaménkem je.

Celkové řešení té diferenciální rovnice potom vypadá takto:

$y= Y_1 e^{\omega_bt}e^{+i\omega_at} + Y_2e^{\omega_bt}e^{-i\omega_at}=Ye^{\omega_bt}\sin(\omega_a t + \varphi)$

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2018 16:23

Kruhová frekvence útlumu

#2 12. 06. 2018 23:06

Re: Kruhová frekvence útlumu

Zápatí