Matematické Fórum

Jak je mozne pro dva pozorovatele ve vzajemnem pohybu posuzovat dve udalosti coby bud soucasne anebo nesoucasne se da castecne pochopit na tech dvou udanych prikladech.

Protoze tyto dva rozbory "osvetluji" 2 pripady, moznost chybne uvahy je tim zmensena na polovinu.

V tom prvnim uvedenem priklade, je vzdalenost mezi svetelnymi udalostmi x=600km a pozorovatel v A je zaznamena t=1ms po sobe. Spocitana rychlost vyjde v=tc/x = 0.5c=150 000km/s.

V dobe vzniku fotonu A ma foton B pred sebou 0.5 trasy.

Pozorovatel leti rychlosti 150 000km/s, tedy 0.5c, tedy 0.5 rychlosti letu fotonu B, ktery je pro pozorovatele v A jeste 1ms vzdalen.

Takze ta zbyvajici 1ms, tedy 0.5 vzdalenosti celkove trasy letu fotonu B, tedy dalsi 1ms ze 2ms, tedy 0.5 x 2ms=1ms, je nejak, zahadou casoprostoru, tou rychlosti 0.5c vykompenzovana tak, ze je pozorovatel v rakete vidi soucasne.

Jedinou pocetni spojitosti se zda byt skutecnost, ze co by se mohlo nazvat , tedy gama spocitana pro pohyb casem, jehoz rychlost by v tomle pripade byla 259 807.621 km/s s gamou=2. Tedy 2x1ms=2ms celkove doby aby svetlo urazilo celou trasu.


V tom druhem uvedenem priklade, je vzdalenost mezi svetelnymi udalostmi x=3km a pozorovatel v A je zaznamena t=4 po sobe. Spocitana rychlost vyjde v=tc/x = 0.4c=120 000km/s.

Foton z bodu B by prekonal 3km vzdalenost mezi svetly za 10.

V dobe vzniku fotonu A ma foton B pred sebou 0.4 trasy.

Pozorovatel leti rychlosti 120 000km/s, tedy 0.4c, tedy 0.4 rychlosti letu fotonu B, ktery pro pozorovatele v A je jeste 4 vzdalen.

Takze tech zbyvajicich 4, tedy 0.4 vzdalenosti celkove trasy letu fotonu B, tedy dalsi 4 z 10, tedy 0.4 x 10=4, jsou nejak, zahadou casoprostoru, tou rychlosti 0.4c vykompenzovany tak, ze je pozorovatel v rakete vidi soucasne.

Jedinou pocetni spojitosti se zda byt skutecnost, ze co by se mohlo nazvat , tedy gama spocitana pro pohyb casem, jehoz rychlost by v tomle pripade byla 274 954.541 km/s s gamou=2.5. Tedy 2.5x4=10. Tedy celkove doby aby svetlo urazilo celou trasu.

Nedovedu posoudit matematickou hodnotu tohoto rozboru a prekvapive jsem se ani nikde nesetkal se zminkou, co by mohla, jestli neco, tahle tzv. predstavovat.

Bylo by dobre, kdyby to mohl nekdo vysvetlit z pohledu matematiky.

Zvedavec 4 napsal(a):

Jak je mozne pro dva pozorovatele ve vzajemnem pohybu posuzovat dve udalosti coby bud soucasne anebo nesoucasne se da castecne pochopit na tech dvou udanych prikladech.

Myslím, že se to dá ÚPLNĚ (tedy nejen částečně) pochopit i bez příkladů, dvě události jsou "současné" tehdy a právě jen tehdy, když nastaly ve stejném čase, tj. jejich časové souřadnice jsou stejné, tedy když pro události A a B platí, že


Jediné, co je třeba pochopit, jak se stanovuje časová souřadnice události, "jak se měří čas", aby to bylo správné i v relativistických případech. To už tu zmiňuji od začátku (tedy asi po sedmé), ale je zřejmé, že tím se zabývat nechceš, a komu není rady, tomu není pomoci...

Michale jeste jednou k tomuto oknu.

MichalAld napsal(a):

Jedinné vzorce které na relativitu současnosti potřebuješ je Lorentzova transformace.






kde




Vlastní relativita současnosti je situce kdy v nějaké souřadné soustavě nastanou dvě události ve stejný čas, ale v jiném místě.

Michale, v tomhle tkvi prvni nedorozumeni.

Kdyz se rekne relativita soucasnosti, automaticky si predstavim, ze jsem to ja, coby pozorovatel "v klidu", co uvidim ty dve udalosti nesoucasne se stanou soucasnymi pro jineho pozorovatele, ktery tedy musi byt "v pohybu". Takovy jsem si o ni udelal dojem z wiki.

Ze tedy se puvodne udeji nejenom v jinych mistech, ale taky v jinych casech a tedy v mistech 600km od sebe vzdalenych a 1ms po sobe.

MichalAld napsal(a):

Máme tedy událost A, o souřadnicích a událost B o souřadnicích kde

Proto me bylo divne, proc by si ta=tb mely byt rovne, kdyz, jak jsem si vzil z toho prikladu, jsem to ja, pozorovatel "v klidu", kdo vidi udalost A 1ms pred udalosti B a tedy casy v me soustave, tedy ta a tb, si nemuzou byt rovne, ale jejich rozddil bude 1ms.

MichalAld napsal(a):

No a teď nás zajímá, jaké budou souřadnice těchto událostí v jiné soustavě, jež se oproti té původní pohybuje rychlostí v. Protože nás zajímají jen časy, stačí když provedeme jen transformaci časových souřadnic. Takže:









Je vidět, že "čárkované časy" už shodné nejsou, protože události měly různou x-ovou souřadnici. Můžeme spočítat rozdíl těch časů (v původní "nečárkované" soustavě si byly časy t_a a t_b rovny)

Rozumim tedy tomu, ze kdyz tedy, ve Tvem pojeti,  ta=tb, ale jsou umisteny jinde, tedy kdy xa se nerovna xb a tudiz, coby vysledek, ta' se nemuze rovnat tb'.

MichalAld napsal(a):

Jelikoz jsem si vzil to posuzovat z druhe strany, pripada mi tedy tenhle Tvuj pohled obraceny.

Takze kdyz dosadim, ze ta-tb=0, bude zbyla -gama v/c2(xa-xb), kam pak musim dosadit -gama v/c2(600)=-1.154 x 150 000/300 0002 x 600=1.154ms, a tedy nedostanu jednotlive hodnoty pro ta a tb a to mne na tom vadi.

Ale v pohledu, kdy ta-tb=1ms, tak potom ta'-tb'=0, coz se mi zda logictejsi, protoze to bych ocekaval od toho, ze to bude pohyb, co tu RS zpusobi a tedy ze pri rychlosti letu v=150 000km/s se ty udalosti stanou soucasne.

Urcite je Tvuj rozpis nazornejsi, protoze v nem zduraznujes to, ze vysledek je rozdil mezi dvema udalostmi znacenymi ta, xa a tb, xb.

MichalAld napsal(a):

To je vztah pro relativitu současnosti. Nic víc a nic méně. Žádné "pozorovatele" ani "záblesky" nepotřebuješ, stačí jen pochopit, jak se v STR správně stanovují (nebo interpretují) časové a prostorové souřadnice.

Pro nízké rychlosti (vzhledem k rychlosti světla) lze gammu položit rovnou jedné, efekt přesto zůstává znatelný, protože vzálenost mezi událostmi lze zvolit libovolně velkou.


Nic víc už k relativitě současnosti nepotřebuješ, vše ostatní to jen komplikuje a zamlžuje. Stačí pochopit, co tyhle vztahy znamenají a jak je správně interpretovat. A použitá matematika obsahuje jako nejsložitější věc odmocninu, ale ta se při výpočtu ani nepoužívá, takže jen sčítání a násobení).

V tech Minkovskeho diagramech (ktere jsem do detajlu nestudoval) se ukazuje, ze soucasnost dvou udalosti se projevi tak, ze budou obe lezet na stejnych osach, bud t, x nebo na odklonenych t', x'. Takze to je asi co myslis tou spravnou interpretaci.

Zvedavec 4 napsal(a):

Rozumim tedy tomu, ze kdyz tedy, ve Tvem pojeti,  ta=tb, ale jsou umisteny jinde, tedy kdy xa se nerovna xb a tudiz, coby vysledek, ta' se nemuze rovnat tb'.

Jo, to je asi v tuto chvíli jediné, co vypadá že tomu "rozumíš správně".

Michale, kterym casem v pojeti STR je ten vyraz ? Vyraz vychazi ve vterinach, ale nemuzeme ho znacit ani t ani t'.

Je mi to jasny intuitivne, ale nikdo to neokomentoval a nikde se o tom nezminujou, takze to vypada jakoby v tom v STR nebylo jasno.

Pouzil jsem tu Tvou rozsirenou rovnici k vypoctu toho znameho Paradoxu Andromedy a doslo mi pri tom, ze jelikoz se jedna o 2 udalosti v soustave "v klidu' a dve v soustave "v pohybu", je tedy presnejsi nez ten zjednoduseny, co pouzivaj na wiki v jejich prikladech. A taky je to priklad z toho obracenyho pohledu, kdy soucasnost probiha v soustave "v klidu".

V tom rozsirenym vyjde rozdil mezi temi dvema udalostmi, z pohledu soustavy "v pohybu", v tom jednoduzsim to bude rozdil mezi udalosti v klidu a udalosti v pohybu, takze vysledek bude jiny. Na tom rozsirenym je videt lip, co se presne deje.

Kdyz si dosadim 2 500 000 let jak za tak za , tedy vzdalenost Andromedy samotne a vojska serazeneho na ni, budou to ty dve  udalosti co se deji soucasne, vysledek bude 0s, a rozdil mezi casy a pak bude vzdalenost (ve dnech) A. samotne a vojska uz na ceste, bude vysledek zas tech 84.49 dni.


=1(2 500 000 let - 2 500 000 let - 84.49 dni) = -84.49 dni, tedy spravny rozdil, mezi temi dvema udalostmi z pohledu kosmonauta "v pohybu".

MichalAld napsal(a):

Zvedavec 4 napsal(a):

MichalAld napsal(a):

Jelikoz jsem si vzil to posuzovat z druhe strany, pripada mi tedy tenhle Tvuj pohled obraceny.

Měl by sis zvyknout na oba pohledy...na všechny pohledy...tvoje osůbka nemá ve vesmíru žádná privilegia na to, aby s ní  spojená souřadná soustava byla v něčem lepší než nějaká jiná.

Michale, nenapadne mi tu naznacujes, ze soucasnost udalosti muze nastat v kazde z tech obou, tedy jak v soustave "v pohybu" tak i v soustave "v klidu", jak v me soustave, tak i v te druhe. Proto se to jmenuje relativita soucasnosti. Vim to.

Byl to jeden z duvodu, proc mi to doslo, jak to pracuje, protoze treba ten priklad s vlakem a blesky, se udava jednou z pohledu toho co stoji na nastupisti a podruhy z pohledu toho, co je ve vlaku a zacalo mi to byt divne, kdyz jsem si toho vsimnul. Tady jsem nedaval v tu chvili pozor.

Zvedavec 4 napsal(a):

Michale, kterym casem v pojeti STR je ten vyraz ? Vyraz vychazi ve vterinach, ale nemuzeme ho znacit ani t ani t'.

Je mi to jasny intuitivne, ale nikdo to neokomentoval a nikde se o tom nezminujou, takze to vypada jakoby v tom v STR nebylo jasno.

Nevím nic o tom, že by ten výraz měl znamenat něco jiného, než co znamená v Lorentzově transformaci - tedy o kolik se posune čas v pohybující se soustavě ve vzálenosti x.

Já znám akorát nebo správněji a to platí pro události, které se odehrávají stále ve stejném místě (v té "nečárkované" soustavě), jen v různých časech. Jako třeba žárovka, co vysílá každou vteřinu záblesk, je ale stále na stejném místě. A počítáme (či měříme) časové intervaly záblesků v "čárkované" soustavě, která se pohybuje.

Takovéto uspořádání experimentu a výsledek který dostaneme se zpravidla nazývá DILATACE ČASU.
Je to ale jen jeden z konkrétních důsledků TR.

Obecné vztahy, které platí vždycky, jsou jen ty Lorentzovy transformace (nebudu je tu psát zase, už jsou tu několikrát). A všechny ty ostatní vzorce, co platí jen ve speciálních případech (jako třeba tento) lze z Lorentzových transforamcí odvodit, zpravidla i celkem snadno.

Nemá smysl uvádět nějaký konkrétní vzorec (jako třeba ) když nevíme, jaké konkrétní situace se týká.

MichalAld napsal(a):

Zvedavec 4 napsal(a):

Michale, kterym casem v pojeti STR je ten vyraz ?

Nevím nic o tom, že by ten výraz měl znamenat něco jiného, než co znamená v Lorentzově transformaci - tedy o kolik se posune čas v pohybující se soustavě ve vzálenosti x.

Aha, tady to je dobre receny, protoze mi to na nej dava trochu jiny pohled.

I kdyz jsem si o nem udelal trochu jinou predstavu, protoze se o jeho vyznamu nikde nezminuji, kdyz to takhle podas znamena to sice asi zase ten tzv. "casovy rozdil", co se o nem zminoval Edison, ale zaroven to vysvetluje jak pracuje ten paradox A., na kterym je ten tzv. rozdil  nazorne ukazany. Neni tomu tak?

↑ KennyMcCormick:
Jo jo, je to jak říkáš - já to spíš beru jako možnost si připomenout něco z fyziky, on se  s tímhle člověk jinak moc nesetkává...

Kdybych nenabyl dojmu z minulych prispevku, jeste z Aldebaranu, ze se tvrdi, ze vyjadruje cas uplynuly v rakete, nebyl bych si tim byval nucen lamat celou tu dobu hlavu.

Jsem tedy rad, ze tu chybnou domnenku (snad) timto vyvracite a potvrzujete, ze opravdovy ucel toho vyrazu je prave umisteni udalosti na casove souradnici soustavy "v pohybu", a tudiz by tenhle problem by tim byl vyreseny.

Protoze jak se muze (jasne) zdat, ty  dva vyrazy, tedy na strane jedne a na strane druhe, pri vypoctech, kdy x'=0, a kdy tedy jejich vysledky jsou totozne, muzou davat dojem, ze si jsou oba vyrazy opravdu rovne. Dopodrobne jsem se na to ptal v mem prispevku "vypocet t'", jak se zminuje Kenny, prave proto, ze pri blizsim pohledu se ukaze, ze nejsou.

Jasne, maji jinou formu, ale dojem byl takovy, ze snad v tom delsim se rychlost plynuti casu ma menit diky delce letu atd. Nikdy mi to prave nebylo presne jasne, co se tim myslelo.

Kdyby MichalAld nebo někdo jiný neměl co dělat, budu rád, když tento příspěvek přečte a upozorní na případné chyby. Dělám je často, a teď jsem navíc nesledoval celé vlákno. Omlouvám se, že do toho tak vstupuji, ale nedá mi to. Zkazit stejně asi není co.

↑ Zvedavec 4:
Rovnou říkám, že většinu předchozích příspěvků jsem jenom prolétl, okomentuji ti (asi už naposledy) ten poslední.

Nevim, jestli matematicky pohled na vec je natolik rozlicny od pohledu "intuitivniho", protoze jako bychom se bavili o jinych vecech.

Pokud ten intuitivní je špatně, nemusí samozřejmě být v souladu s "matematickým". Proto je také špatně.

Taky tu hraje roli alespon zdanliva "zvracenost" (omlouvam se za tento vraz) logiky TR, kdy snad uz Einsteinuv zamer mohl byt aby ji hned tak nekdo nepochopil, a proto treba namisto aby vzorecky uzpusobil tak aby se ukazala "kontrakce casu" zprevratil je na "dilataci casu", atd.

Jistě, Lorentzovu transformaci si sice nejsi ochotný ani přečíst a je to pro tebe "detail, který už vědět nemusíš", ale hokej v tom máš proto,že to tak Einstein schválně zamotal, aby vypadal chytřejší. To bude ono. Nediv se, až tě tu začnou ignorovat úplně všichni - máš k tomu nakročeno velmi solidně.

Kdyz se tedy rekne, ze cas ubiha pomaleji v "te druhe" soustave, tedy po mych 10 vterinach tam ubehne pouhych 5 vterin

A co to přesně znamená? Pokud máš v "klidové" soustavě kyvadlo, které se kýve s periodou 10s, při pohledu z "pohybující se" soustavy bude toto kyvadlo mít periodu 20s (při pohledu z druhé soustavy se totiž prohodí to "v klidu" s tím "v pohybu") . A stejně tak pokud mají v té lodi jiné kyvadlo s periodou 5s, z pohledu z té první soustavy bude mít periodu 10s. V tomto slova smyslu je tam pomalejší čas. V obou případech se při přechodu z klidu do pohybu rozdíl časů násobí faktorem gama (platí to pro události, které jsou v původní soustavě na stejném místě). Nikde není problém.
Jediný problém je vztah , se kterým jsi přišel ty, aniž bys odpověděl na položenou otázku "kde jsi to zase vyhrabal". Tento vztah je buď špatně, nebo ta písmena znamenají něco jiného, než to typicky bývá (tj. čárky se týkají soustavy, která se pohybuje). I toto ti ovšem MichalAld už napsal.

Pro mne dilataci casu se zda nejjednoduseji chapat coby zpomaleni rychlosti jeho plynuti (i kdyz prave tohle principialne odporuje vyrazu dilatace

Nic ničemu neodporuje. "Pomalejší" čas znamená delší dobu mezi událostmi, tedy prodloužení čekání, tedy dilatace. A těžko mohou platit dva vztahy, které se navzájem vylučují, podle toho, co kdo jak chápe.

davam si na to pozor a vetsinou me to uz nerozhodi, ale na zacatku to vsechno hodne plete

Ne, rozhozený jsi pořád stejně jako na začátku.

Tady udavas zase jiny pohled na vec. Kdyz bude "nehybna" zarovka s nemennou prostorovou souradnici vydavat svetelne signaly po vterine tak bych si  (intuitivne)myslel, ze je v soustave "v pohybu" uvidi vzdycky jinde na sve casove (a snad i prostorove-nechce se mi to ted pocitat) souradnici a tedy by se musel pouzit vzorecek

To není žádný jiný pohled na věc, a je to vlastně to kyvadlo, co o něm píšu výše. Pohybující se pozorovatel pochopitelně uvidí záblesky s nějakým časovým odstupem, a samozřejmě také prostorovým (na tom není co počítat, ani kdyby se ti nakrásně chtělo - kdyby je viděl na stejném místě,nebyl by to pohybující se pozorovatel). A ano, tohle je obecný vzoreček, podle kterého se to počítá, t a x jsou souřadnice v původní soustavě (tedy x se v našem případě nemění), t' je v pohyblivé.

ale abych zjistil kolik casu jim ukazuji hodinky, musel bych snad vzdycky pouzit vzorecku (pri tomhle mem pohledu na vec). Co je prave v tomhle zavadejici je to, ze pri x'=0km oba ty vzorce daji stejne cislo (na coz jsem uz nekolikrat poukazal, ze o tom vim)

Kolik času jim ukazují hodinky kdy? Pokud tě zajímá, co ukazují hodinky v okamžiku, kdy akorát dojde ke druhému záblesku, tak jsi to právě spočítal z toho obecného vztahu (alespoň za předpokladu, že při prvním záblesku ukazovaly totéž, co hodiny žárovky (což je ale otázkou volby toho pozorovatele, jak si hodiny seřídí)). Tyto dva uvedené vzorce při volbě x=0 nedají žádné stejné číslo, v jednom je gama v čitateli, ve druhém ve jmenovateli. Takže smůla, a je úplně jedno, kolikrát na to ještě poukážeš.

Nechapu tedy presne jak v tomhle priklade hledat dilataci casu, protoze snad i v te soustave "v pohybu" by ty signaly byly souzeny coby rovnomerne (casove) rozlozene, treba po 0.5 vterinach pri v=0.866c.

Při pohledu z pohybu (což jen v tomto příspěvku píšu potřetí) budou signály rovnoměrně rozložené s periodou 2s.

Celkově se mi zdá, že tvůj hlavní problém je v tom, že si uděláš (špatnou) "intuitivní" představu a pak si vymyslíš vzorce, které vyjdou tak, jak potřebuješ. Takto podle mého vznikl vztah , takže jsi ho opravdu nikde nevyhrabal, ale prostě sis ho vycucal z prstu, protože intuitivní pochopení se nepovedlo. A když ti to někdo řekne, vymluvíš se na to, že matematika tě nezajímá a jde o "intuitivní koncept". A tak pořád dokola. Znovu si přečti můj minulý přispěvek v tomto vlákně, stejně jako například povzdech od ↑ KennyMcCormick: výše. Naposled píšu: nastuduj si Lorentzovu transformaci, důsledně odlišuj čárkované a nečárkované veličiny, projdi si úvod podle nějaké učebnice, spočítej několik příkladů a pak se ptej. A hlavně se konečně vyprdni na intuitivní pochopení - pochybuji, že vůbec někdo na světě to dokáže pochopit intuitivně.


P.S.: Kdybys náhodou opravdu zvolil popsaný postup (což sice neočekávám, ale kdo ví), silně nedoporučuji učebnici STR z řady Prométheus pro gymnázia. Nekdo ji v některém tvém vlákně doporučoval, ale podle mně dělá STR dost medvědí službu. Já jsem to podle ní na gymnáziu nepochopil, a když ji teď otevřu, naprosto se nedivím.

↑ KennyMcCormick:
Rozumím, díky za info. Vina je to spíš moje, že jsem neměl sílu projít celé toto vlákno pořádně. Takže se omlouvám za nařčení, že si Zvedavec cucá vzorce z prstu. Původ "obráceného" vzorce je tedy vysvětlen příspěvky #89 a #90. Tyto příspěvky jsem sice četl, ale dostatečně rychle mi to nedošlo. Tím, že jsi to sem teď zkopíroval i s úryvkem se to dost vyjasnilo.
On je to takový didaktický problém s těmi pojmy "klidová" a "pohybující se" soustava. Začátečníka jistě může mást, že pozorovatel v pohybující se lodi může být v klidové soustavě - a jakákoli volba očárkování veličin tak může někoho zmást.

↑ Zvedavec 4:
I na tomto je vidět zajímavá věc. Když se pokoušíš naučit se nějaké odvozené vzorce, které platí jen v nějakých zvláštních případech, bude v tom vždy guláš. Kromě toho, že některé ty vzorce pak budeš aplikovat v situacích, kdy to nejde, může dojít (jak je vidět) i k problémům se značením. Toto je myslím i ten hlavní problém, který jsem měl s tou učebnicí STR pro gymnázia. Ty "školní" vzorce pro kontrakci délek a dilataci času jsou speciální případy. Lorentzova transformace je obecná (tedy, typicky se píše pro případ, že odpovídající si osy jsou rovnoběžné a pohyb probíhá ve směru jedné z nich - to už je ale obecné dostatečně). Skutečně je nejlepší začínat od ní.