Matematické Fórum

Vysvětlení existuje, vyžaduje ale diferenciální počet.

Zatímco u rezistoru  mezi protékajícím proudem a napětím, jež se na rezistoru vytvoří, platí algebraický vztah



u cívky je to tak, že napětí na cívce je úměrné tomu, jak RYCHLE se proud mění. Matematicky se to musí napsat jako derivace, tedy:




u kondenzátoru je to ještě horší, tam potřebuješ integrál, ale taky můžeš použít stejný vztah jako u indukčnosti, jen že se prohodí napětí a proud (proud kondenzátorem je úměrný tomu, jak RYCHLE se mění napětí).




Proč se cívka a kondenzátor takto chovají lze odvodit z obecnější Maxwellovy teorie elektromagnetického pole - ale to už je opravdu vyšší dívčí. Navíc - žádného dalšího vysvětlení už se člověk moc nedočká, protože fundamentální zákony el. mag. pole tvrdí, že velikost elektrického pole je úměrná RYCHLOSTI ZMĚNY magnetického pole - a to už žádné další vysvětlení nemá.


Zbytek už je jen matematika. Ty věci s fázovým posuvem a impedancemi předpokládají, že do obvodu pouštíme napětí či proud SINUSOVÉHO průběhu. Pro žádné jiné to neplatí, zatímco ty vztahy s derivacemi (či integrály) platí pro všechna napětí.


A pokud tedy máme sinusový průběh proudu, třeba popsaný vztahem



jeho derivace je (pokud nevíš, co jsou derivace, tak tomu asi budeš muset prostě věřit, případně to můžu zkusit vysvětlit nějak "po lopatě") - zkrátka, jeho derivace je



Jak vidíš, z funkce SIN se stal COS - to je ten fázový posuv o 90°, protože cos(x) = sin(x + 90°),
a taky se nám tam objevila ta OMEGA. Hodnota derivace závisí na frekvenci, čím je frekvence vyšší, tím je vyšší i amplituda "zderivovaného" napětí.

Teď, když už víme, jak funguje derivování sinusového signálu, a jaké napětí vzniká na cívce, můžeme to složit dohromady, a dostaneme (pro cívku)




Z toho je už vidět, že napětí na cívce má velikost danou proudem krát ten výraz , který se nazývá "induktivní reaktance" a je to obdoba R u rezistoru, a také je vidět, že napětí na cívce má ten fázový posuv o 90°.

Pro kondenzátor by se to dělalo obdobně (buď záměna napětí za proud a naopak, nebo místo "derivování" by se použilo "integrování").

Díky, to je přesně to, na co jsem se neptal.



Jasně, že vím, co je derivace i že derivace sinu je cosinus. A ten druhý vztah je Faradayův zákon (resp. dynamická definice indukčnosti, což souvisí). Ono je hezký, že ta matika něco dělá - takový jukebox - hodíš do toho písmenka a ono to něco vyplivne. Myslel jsem to ale tak, co ta reaktance znamená HMOTNĚ, což mi z toho není jasné. Odpor rezistoru (reps. rezistivita) znamená, že je tam zkrátka nějaké hmotné prostředí, které brání průchodu částice skrz. Částice má v poli nějakou potenciální energii, tu el. síla přeměňuje na kinetickou a ta disipuje na rezistoru, protože naráží na jiné částice, rozkmitává je a energie se mění v teplo (jestli to chápu správně). Proto odpor zpomaluje částici (proud). Ale jaký je takový materiální význam těch reaktancí (pokud nějaký) a proč závisí na frekvenci? To fakt nevím. Myslel jsem, že by to mohlo souviset právě s přeměnami energie - v cívce na energii mag. pole atd. Vážně by mě to zajímalo.

To bylo rychlý... Nevím ale, proč to tahání za slovo. Místo "hmotný" si můžeš dosadit "reálný", "konkrétní" (jako protiklad k matimatickému "abstraktní"), "fyzický"...cokoli tě bude dráždit míň. Nicméně na střední škole nám říkali, že pole je forma HMOTY. Takže bych měl mít vlastně pravdu. Hele, citace!

Výchozím pojmem fyziky je hmota. Hmotné objekty mohou exitovat ve dvou základních formách: buď jako látka, nebo jako pole.

(Fyziky pro gymnázia: Mechanika, Prometheus; str. 12)

Jasně, že když půjdeme dost hluboko, nic asi nebude hmotné - částice se vlastně nedotýkají, protože se snižující se vzdáleností odpudivé síly rostou k nekonečnu, samy částice asi ani nejsou hmotné a bla bla bla, to je teď jedno. Nejde o můj světonázor - světonázor je libertarián vs. socan., je to snaha tomu porozumět. BTW Feynmann zdůrazňuje to samý a varuje před (pouze) matematickým viděním fyziky.

pokud ano - tak detaily si můžeš zjistit z Maxwellovy teorie.

To bude trochu problém, protože v knížkách, ve kterých se vykládá Maxwell, se věta "Nebe je modrý a tráva zelená" napíše pomocí dif./int. rovnic přes několik stránek. Úplně by mi (prozatím) stačilo zjednodušené vysvětlení.

Navíc si myslím, že tvůj dotaz se netýká fyziky, ale filozofie

Tragický omyl, je to bytostně fyzikální otázka.

stejně na to žádná rozumná odpověď neexistuje.

No to je blbý. Ale nejsem naivní a vím, že odborníci často sami ani pořádně nevědí, co to vlastně dělají. Napíšou rovnice přes několik tabulí, nco jim vyjde, ale ta podstata se trochu vytrácí.

Sakra utekly mi zprávy!

↑ gestapák:
Pokusím se napsat méně přesný, ale "intuitivnější" popis. Jak ale píše MichalAld, vždy je potřeba z něčeho vyjít. Materiální představu v tom smyslu, že si na to sáhneš, to asi najdeš těžko. Pokud ale vezmeš jako přijatelné, že znáš třeba zákon elmg indukce (Faradayův zákon), dá se někam dostat.

Pokud se mění proud cívkou, mění se okolo ní magnetické pole a tedy i magnetický tok cívkou. Pokud se mění magnetický tok cívkou, indukuje se na ní napětí (Faradayův zákon), které se sčítá s napětím, které by tam bylo "bez cívky". Tohle indukované napětí má takovou polaritu, aby působilo proti změně, která ho vyvolala. To buď ber jako další zákon (známý jako Lenzovo pravidlo), nebo to ber jako součást Faradayova zákona (plyne to snadno z Maxwellových rovnic). A proto na té cívce naměříš jiné napětí, než bys čekal. Pokud má proud sinusový průběh, dopadne to tak, jak to dopadne. Z energetického hlediska se v obvodu krátkodobě "ztrácí" energie. Ona se neztrácí, je ulitá v tom magnetickém poli. A ten důvod proč "induktance závisí na čase" je v tom, že indukované napětí je úměrné časovým derivacím magnetického toku.

U kondenzátoru je to podobné, ale to co tam vzniká není magnetické, ale elektrické pole. Můžeš si to představit třeba když se podíváš na přechodový jev. Když jsou desky kondenzátoru nenabité a připojíš k nim zdroj, okamžitě začne téct proud - elektrony odtékají z jedné desky a hromadí se na druhé. Jak se tam hromadí, vzniká elektrické pole, které další čerpání elektronů "ztěžuje", takže proud postupně klesá. Napětí naproti tomu stoupá, a bude největší, až bude proud nulový. Pokud je to zdroj střídavého napětí, děje se to samé, ale nikdy se to neustálí. Jak rychle se to děje, to záleží na tom, jak hodně ty hromadící se elektrony brání dalšímu čerpání.


Doplním ještě poznámku, že prakticky každý reálný prvek má nějaký odpor, nějakou kapacitu a nějakou indukčnost - takže je opravdu důležité umět započítat vliv všeho najednou, protože např. ideální cívku (která má nulový odpor) jen tak nepotkáš. Čím vyšší jsou frekvence, s jakými pracuješ, tím je to víc vidět (např. začne hrát roli indukčnost spojovacích vodičů, kapacita plošného spoje a podobné radosti). Při nízkých frekvencích jsou cívky jako drát a kondenzátory jako přetržený drát. Při vysokých obráceně.


Jinak bych byl opatrný s větami typu "Ale nejsem naivní a vím, že odborníci často sami ani pořádně nevědí, co to vlastně dělají. Napíšou rovnice přes několik tabulí, nco jim vyjde, ale ta podstata se trochu vytrácí." Podobných expertů se tu už pár objevilo, a jsem na ně alergický, protože většinou mají základní neznalosti a žádného odborníka nikdy nepotkali, ale zato vědí přesně, komu mají vynadat.

Edit: Z náhledu vidím edisonův příspěvek, ale když už jsem to psal, pošlu to.

Shodou okolnosti tu máme zrovna podobné vlákno, kde se někdo snaží něco pochopit "intuitivně", bez použití matematiky. Nevím, jaký je přesně rozdíl mezi "hmotným pochopením" a "intuitivním pochopením", ale tamto vlákno mi připomíná debatu typu


a) Proč 7x5 je 40 ?
b) Ale 7x5 není 40, to je přece 35
a) Ale na to jsem se vůbec neptal, to vím dávno, jen by mě prostě zajímalo, jak se dá "intuitivně" pochopit, proč 7x5 je 40...
b) No, můžeš si to napsat jako sčítání, 7x5 je 7 + 7 + 7 + 7 + 7
a) Nepotřebuji, abyste mi tu vysvětlovali co je sčítání, to znám už od základní školy.....a nějaké vzorce, co používají matematici .... popíšou jimi dvě tabule....přece to musjí jít nějak jednoduše pochopit, i bez matematiky, jak se dojde k těm čtyřiceti..

atd... (ve zmiňovaném vlákně už jsme tuším u příspěvku 146, a nevšiml jsem si zatím žádného znatelného pokroku, hi)

doufám, že tady to nebude to stejné.

↑ edison:
To by se dalo aplikovat i na mechaniku - setrvačnost (setrvačná hmota) je to samé jako pružina, jen jsme prohodili sílu a rychlost....

↑ MichalAld:Já bych to zas tak nehrotil. Tazatel zatím napsal 3 příspěvky. Teď by bylo místo odsudků dobré počkat, zda alespoň něco bylo pochopitelné a jaké jsou k tomu dotazy.

A vedle je přitom matematicky zajímavé téma (http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=102053), které by mě taky zajímalo, ale nikomu se do něj asi nechce.

↑ gestapák:
Máš třeba nějakou představu o "fyzickém významu" pružiny a setrvačné hmoty ?

Protože on se třeba mechanický "obvod" sestávající z pružiny, tlumiče a závaží chová stejně, jako elektrický obvod složený z odporu, cívky a kondenzátoru. Je popsaný stejnou rovnicí, jen jsou v ní jiné veličiny. A stejná rovnice má i stejné řešení.

Kondenzátor odpovídá pružině, cívka setrvačné hmotě, odpor tlumiči, napětí odpovídá síle a proud rychlosti.

Taky si můžeš představit tlakovou nádobu, a z ní trubku do okolního prostředí. Stlačování vzduchu v té nádobě odpovídá "stlačování elektronů" v kondenzátoru, a setrvačná hmota vzduchu v té trubce odpovídá "setrvačnosti proudu", což je ta indukčnost. A tření vzduchu v trubce odpovídá elektrickému odporu.

Lze vymyslet i další analogie.

Základem jsou vždy ty dvě "věci", jedna, co dokáže reagovat na změnu (napětí na cívce odpovídá změně proudu, stejně jako setrvačná síla odpovídá změně rychlosti), a druhá, co dokáže "provádět akumulaci", jako stlačovaná proužina nebo stlačovaný vzduch v nádobě, nebo ten "stlačovaný" náboj kondenzátoru.

Třeba ti ty analogie pomohou nejlépe, já nevím. Tvá otázka nemá jednoznačný význam,
ve fyzice to funguje tak, že "rozumí" tomu ten, kdo dokáže dělat správné předpovědi. Ty ale předpovědi dělat asi nechceš, a pak je to všechno takové hrozně subjektivní.

Každopádně, tvůj (byť subjektivní) názor na XL a XC by se měl dokázat popasovat i s představou jiného proudu a jiného napětí, než jen sinusové. Co bude třeba dělat kondenzátor, když do něj pustíme konstantní proud. Nebo co bude dělat cívka, když jí necháme protékat lineárně rostoucí proud ?


I u závaží na pružině můžeme mluvit o činném a jalovém výkonu, jenže to nikdo nedělá. Protože mechanická energie se nepřenáší stovky kilometrů daleko, tak to nikoho příliš netrápí. U vysokofrekvenčních vedení také nemluvíme o činném a jalovém výkonu, namísto toho používáme dopředný a odražený výkon. Ale je to jen jiný popis téhož.