Matematické Fórum

Zvedavec 4 · 27. 06. 2018 16:03

MichalAld napsal(a):
Zvedavec 4 napsal(a):
Víš, ty na to pořád koukáš takovým poloklasickým pohledem. Sice jako nějak bereš, že v každé soustavě běží čas jinak rychle, ale pořád ještě nechápeš, že tohle není všechno. Že čas ještě nějak závisí i na poloze.

Samotný časový údaj nemá smysl uvádět, pokud k němu není i prostorová souřadnice.

Takže kdybychom chtěli být přesní, tak tvůj první vzorec $t'=\gamma \cdot t$ je speciální případ obecného vztahu

$t'=\gamma (t-vx/c^2)$

za předpokladu, že x = 0. To je důležitá věc, kterou sice nemusíme vždy psát, ale musíme si ji vždy uvědomit.
Jenže to ty neděláš.

Abychom docilili vzorecku $t'=\gamma \cdot t$ je tedy jasne, ze musime docili aby vyraz $\frac{vx}{c^{2}}=0$ .

Protoze pri v=0, raketa je stale jeste na odpalovaci rampe, tudiz jedinym zpusobem jak toho docilit musi byt, kdyz x=0.

Zda se, ze toho muzeme docilit dvema zpusoby:

1) Udalost se nachazi v pocatku souradneho systemu soustavy "v klidu" a tedy x=0, ale raketa, pri pocatecnim x=x'=0, by musela letet v oblouku a vratit se do stejneho mista.

Je mi jasne, ze v tom pripade by to zahrnovalo OTR a jake detajly by kvuli tomu mohly byt toho nasledkem nevim.

2) Kdyby se ale pocatek vztazneho systemu soustavy "v pohybu" ze zacatku nekryl s tim soustavy "v klidu", ale raketa by priletla z -x, to by mohl byt dalsi pripad.

Jestlize se tedy udalost stane za 1s a v x=0, t' rakety pak bude $t'=\gamma \cdot t=2s$ .

Ale porad to nevysvetluje, co to znamena a ani se tim nevyresi ma otazka, v jakem dalsim pocitani se ty 2s muzou pouzit?

MichalAld

Ani pro jeden z těch dvou případů uvedené vzorce Lorentzovy transformace samozřejmě neplatí.

Také neplatí, pokud souřadné osy nebudou svírat "pravý úhel", nebudou mít stejná měřítka, nebudou lineární atd, atd, atd.

Zvedavec 4

V priklade, kdy x=0, v= 259 807.621km/s, t=1s, gama=2

Jestli to je priklad, kdy se v miste x=0km ma rozsvitit zarovka za 1 vterinu od okamziku, kdy tim mistem prolitne raketa rychlosti v=259 807.621km/s, neplati snad potom, ze:

Za tu 1 vterinu, tedy t=1s, ubehlou na hodinach zeme umistenych v miste pocatku tohoto prikladu, se bude raketa nachazet v bode vzdalenem x'=259 807.621km casoprostoru soustavy zeme, tedy od x=0km.

Aby se kosmonaut mohl domnivat, ze se mu zkratila vzdalenost na polovinu, v okamziku, kdy bude proletat kolem mezniku oznacenem x'=259 807.621km, budou muset jeho hodiny ukazovat t'=0.5s. Tohle znamena, ze jeho cas plyne polovicni rychlosti rychlosti plynuti casu na zemi.

Taky to bude znamenat, ze se raketa pri tehle sve rychlosti premistila behem sveho letu, a tedy behem tohoto prikladu, o pouhych 0.5s cistym casem.

Protoze se ale soucasne to misto pocatku prikladu, tedy misto te budouci udalosti x=0km, premistilo cistym casem o 1s v soustave zeme, bude to misto vzdalene 1s-0.5s=0.5s od okamziteho umisteni te rakety a tedy 0.5s na jeji casove souradnici. Tyhle dve hodnoty jsou ciselne stejne a tedy zavadejici v tom, ze se tady muze plest cas uplynuly s casem souradnym.

Protoze to nemuze byt jinak nez, ze za t'=1s sveho casu, ta raketa uleti x'=519 615.242km, nemuze to nez znamenat, ze ty $t'=\gamma \cdot t=2s$ bude znacit cas uplynuly na zemi, protoze tady ta raketa predstavuje soustavu "v pohybu" a proto z pohledu soustavy "v klidu", tedy zeme, se ji musi chod casu zpomalit.

$t'=\gamma \cdot t=2s$ se musi brat v tomhle zvlastnim pripade coby cas uplynuly na zemi a t=1s musi znacit cas rakety. Asi se tady tim zduraznuje vzajemna relativita pohledu na tu druhou soustavu, tedy soustavu "v pohybu" a preskakuje se tady tedy z jedne soustavy do druhe a naopak.

Jenom pri pruletu kolem mezniku oznacenem x'=519 615.242km za svou 1s se muze kosmonaut znovu utvrdit v tom, ze se mu zkratila vzdalenost na polovinu a zaroven, ze v te druhe soustave (tady v soustave zeme) musely, si spocita, uplynout $t'=\gamma \cdot t=2s$ .

Ty 2s taky znamenaji, ze se misto pocatku prikladu presune o 2s cisteho casu na casove souradnici zeme, protoze uplynuly cas zeme bude 2s a to misto pocatku prikladu bude tedy, v techhle dvou vtrinach uplynuleho casu zeme, 2s-1s=1s na casove souradnici rakety a jeji uplynuly cas bude 1s.

Zvedavec 4

v=259 807.621km/s; x=0km; t=1s; gama=2;
x'=-519 615.242km; t'=2s

v=259 807.621km/s; x=259 807.621km; t=1s; gama=2;
x'=0km ; t'=0.5s;

V prvnim krajnim priklade, kdy x=0km, se udalost nachazi v pocatku soustavy "v klidu". Po 2s ubehlych v soustave "v klidu", uleti raketa 519 615.242km, kdy v soustave "v pohybu" mohla uplynout jenom 1s aby si mohl kosmonaut pomyslet, ze se mu zkratila vzdalenost na polovinu.

V druhem krajnim pripade, kdy x'=0km, se udalost po 1s soustavy "v klidu" nachazi v pocatku soustavy "v pohybu", tedy 259 807.621km od pocatku soustavy "v klidu", kdy po uplynuti 1s v soustave "v klidu" mohlo uplynout jenom 0.5s casu v soustave "v pohybu" a tomu presne odpovida vzdalensost tech 259 807.621km a kosmonaut si muze pomyslet, ze se mu zkratila vzdalenost na polovinu.

Zakladni udaje, tedy vzdalenost mezi udalosti, mista pocatku prikladu a rakety, jsou stejne, tedy 259 807.621km, a rychlost je stejna, tedy 259 807.621km/s, a casovy usek je stejny, tedy 1s, jenom jsou ty udaje zvazovane z opacnych pohledu/stran/koncu, bud z mista pocatku prikladu, tedy x=0km , anebo z mista rakety, tedy x'=0km.

Hlavni otazka se tyka vzdalenosti mezi pocatecnim a konecnym umistenim rakety a to bude vzdycky tech 259 807.621km a casova mezera mezi zacatkem a koncem prikladu bude vzdycky 1 vterina z pohledu zeme (anebo z pohledu soustavy "v klidu", tedy toho, kdo to posuzuje).

Protoze ale ta dvojita vzdalenost 519 615.242km je "pomyslnou" vzdalenosti v soustave "v pohybu" posuzovanou/zpocitanou z pohledu soustavy "v klidu" obdobne, dvojity uplynuly cas 2 vterin bude muset byt uplynuly cas soustavy "v klidu", ktery v ni uplyne vztazne k te dvojite vzdalenosti v soustave "v pohybu" aby se zachoval stejny interval casoprostoru s.

Zvedavec 4 · 16. 07. 2018 18:27

V priklade, kdy $\frac{vx}{c^{2}}=0s$ bude $t'=\gamma (t-\frac{vx}{c^{2}})=2s$ , tedy maximalni, a v priklade, kdy $\frac{vx}{c^{2}}=1s$ by $t'=\gamma (t-\frac{vx}{c^{2}})=0s$ , a tedy by bylo minimalni.

Protoze toho druheho, tedy minima, by se mohlo docilit jenom letem rychlosti v=c, tedy soustavou "v pohybu", tedy rakety, musi se obdobne toho prvniho, tedy maxima, docilit nulovym letem, tedy soustavou "v klidu", tedy zeme.

Takze to vypada, ze protoze minimum, tedy 0s, by se muselo pricist soustave "v pohybu" obdobne by se maximum, tedy 2s, muselo pricist soustave "v klidu".

A proto neznamena to, ze $t'=\gamma \cdot t=2s$ znaci cas uplynuly na zemi, tedy v soustave "v klidu"?

V kazdem pripade se tady zda preskakovat ze soustavy do soustavy, protoze, kdyby se reklo, ze v pripade, kdy x=0km t'=2s znaci periodu kyvadla, a tedy jakoby cas ubehly v rakete, kdyz pak v priklade, kdy x'=0km v soustave rakety vyjde t'=0.5s, to by pak taky muselo znacit periodu kyvadla v soustave rakety a to by pak snad znamenalo, ze by ji cas bezel 2x rychlejs.

Zvedavec 4

Jeste jeden dodatecny pohled na tohle tema by byl, ze kdyz se ta udalost stane nekde mezi tema dvema krajnima mezema, napriklad v x=173 205.08km, pri v=259 807.621km/s vyjde cas t'=1s a bude tedy rovny casu t=1s pri x'=gama(x-vt)=-173 205.081km, pokud v tom nemam chybu.

$t'=\gamma (t-\frac{vx}{^{c^{2}}})=2(1-\frac{259 807.621 \cdot 173 205.081}{300 000^{2}})=2(1-0.5)=1s$

Tohle by se zdalo potvrzovat, ze ten t'=1s by snad nemel znamenat dobu ubehlou v soustave "v pohybu", tedy na hodinach v rakete, protoze cas v ni musi bezet pomaleji nez v soustave "v klidu" a tedy byt ciselne jiny.

Tady mi ale neni jasne, co muze tohle t' oznacovat? Muze to byt ten okamzik, kdy se meni soustava, ze ktere se to cele posuzuje. Anebo se to takhle pocitat neda. Ale zda se to ukazovat, ze vypocitane t' se snad nemusi vzdycky vztahovat k soustave "v pohybu".

Ale tohle se uz je dost komplikovane aby se to dalo intuitivne urcit a tak to musim vzdat.

Nevim, jestli to nekdo okomentuje, je mozne ze cela uvaha ma nejakou chybu a to ve snaze zjistit, proc by melo $t'=\gamma t$ znacit cas ubehly v soustave "v pohybu" ?? A jestli ano, potom ktery ????

Zvedavec 4

LukasM napsal(a):
↑↑ Zvedavec 4:
Proboha, pomalejsi cas snad znamena, ze doba mezi zvolenymi udalostmi je DELSI nez puvodne. Takze pokud ho oznacim $t$ v soustave v klidu a $t'$ v soustave v pohybu, tak $t'$ bude vetsi (pri pohledu z pohybu dej trva dele). V prispevku #127 pises
protoze snad ta pismena t a t' vyjadruji rychlost chodu casu a ne delku periody kyvadla
Samozrejme, ze je to perioda kyvadla. Jak to po 130 prispevcich muze byt nejasne?

Tohle je dobry priklad toho, jak se pohled na vec zalozeny na matematice samotne muze nekdy jenom ztezi slucovat s intuitivnim chapanim.

Zpomaleni behu casu nam musi dat jeho mensi ciselnou hodnotu. Tedy 1s ubehla na hodinach soustavy "v klidu" musi dat 0.5s ubehlych na hodinach soustavy "v pohybu", jak videnych anebo posuzovanych z te soustavy "v klidu" a naopak. A takhle o tom ze sameho zacatku uvazuju.

Je mi ted jasne, ze podstata zpomaleni casu se da tezko predstavit, a proto se musi pouzit nejake pomucky, jakou je tady ta perioda kyvadla. A tedy, jako s tema svetelnyma paprskama, se zpomaleni vyjadri uplne nelogicky a protichudne coby prodlouzeni, tedy dilatace.

Proto se taky, si myslim, $\gamma$ musela uzpusobit tak, ze vychazi vetsi nez 0, tedy jedna z prvnich zprevracenin.

Rozumnel bych tomu tak, ze ta jakoby prevracena hodnota gamy, kterou se to zpomaleni casu vyjadruje pomoci jeho dilatace, je vysledkem objevu TR, ze prubeh toho zpomaleni pri rovnomerne se menici rychlosti letu bude davat hyperbolu.

Myslim tim, ze at uz to bylo cokoliv, co zpusobilo objev (asi se to neda nijak zmerit), ze ten prubeh bude hyperbolicky, prepocet gama se tomu predpokladu musel prizpusobit a ta hyperbola je jim tedy naznacena.

Je mi dost jasne, a to i s mou jenom doslova nejprazakladnejsi znalosti o te krivce, ze tomu tak nejspis bude, ale byl bych rad, kdyby se k tomu mohl nekdo vyjadrit, protoze kvuli slabe znalosti matematiky se na tu svou uvahu nechci 100% zpolehat.

Anebo je to predpoklad zalozeny na nejake obdobe s nejakym jinym elektromagnetickym jevem, protoze jsem si vsim, ze se tohle v TR dela.

Zvedavec 4 · 18. 07. 2018 04:55

Mozna ze v mem okne #156 byla uvaha spatna.

Nejspis by tam melo byt, ze:

$x=x_{1}-x_{2} =259 807.621-173 205.081=86 602.54km$

a z toho pak

$x'=\gamma (x-vt)=2(86 602.54-259 807.621)=-346 410.162km$ .

$t'=\gamma (t-\frac{v[x_{1}-x_{2} ]}{c^{2}})=2(1-\frac{259 807.621\cdot [259 807.621-173 205.081]}{300 000^{2}})$
$=2(1-\frac{259 807.621 \cdot 86 602.54}{300 000^{2}})$
$=2(1-0.249 999)=2(0.75)=1.5s$

Ale zase, protoze se udalost stane ve stejny okamzik co dolet rakety k bodu $x_{1}$ , tedy ty dve udalosti $x_{1}$ a $x_{2}$ sice jsou soucasne, ale nejsou soumistne, nemelo by potom tohle $t'=1.5s$ jedine znacit udaj na casove souradnici rakety? Momentalne jsem se tady v tom ztratil.

Zvedavec 4 · 19. 07. 2018 02:26

Zkazil jsem to taky v okne #158. Tady to mam ale dobre:

Logicky, kdyz raketa v tomhle pripade doleti za 1s soustavy zeme svou rychlosti
v=259 807.621km/s do bodu vzdalenemu $x_{1}=259 807.621km$ a soucasne se rozsviti zarovka ve vzdalenosti $x_{2}=173 205.081km$ , je jasne, ze vypoctem $t'=\gamma (t-\frac{vx}{c^{2}})=2(1-\frac{259 807.621\cdot 259 807.621}{300 000^{2}})=2(1-0.75)=2(0.25)=0.5s$ dostavam cas t'=0.5s, ktery se vztahuje k mistu doletu te rakety $x_{1}$ .

Prestoze udalosti $t_{1}=t_{2}$ jsou soucasne v soustave zeme, nebudou soucasne v soustave rakety, protoze $t_{1}'=\gamma (t_{1}-\frac{vx_{1}}{c^{2}})$ a $t_{2}'=\gamma (t_{2}-\frac{vx_{2}}{c^{2}})$ , kde $x_{1}$ a $x_{2}$ maji jine hodnoty, protoze ta mista nejsou soumistna.

Vyjde $t'_{1}=0.5s$ a $t'_{2}=1s$ , s rozdilem 1-0.5=0.5s. Je zajimave/divne, ze $t'_{1}$ , prestoze je dal ma mensi hodnotu (jestli se nekde nepletu).

Protoze $t_{a}=\frac{vx_{1}}{c^{2}}=0.75s$ a $t_{b}=\frac{vx_{2}}{c^{2}}=0.5s$ , vypada to, ze se ta zarovka v soustave rakety rozsviti $t_{z}=0.75-0.5=0.25s$ pred priletem rakety do cile. Myslim si, ze to je co tohle znamena.

Protoze $x'_{1}=\gamma (x_{1}-vt_{1})=0s$ a $x'_{2}=\gamma (x_{2}-vt_{2})=-173 205.081km$ , jestli jsem se nekde nesplet, je videt, ze se na to tady kouka z druhe strany (od rakety), protoze je tam to minus.

MichalAld napsal(a):
$t_a' - t_b' = \gamma(t_a - t_b - \frac{v(x_a - x_b)}{c^2}) = -\frac{\gamma}{c^2}v(x_a -x_b)$

To je vztah pro relativitu současnosti. Nic víc a nic méně. Žádné "pozorovatele" ani "záblesky" nepotřebuješ, stačí jen pochopit, jak se v STR správně stanovují (nebo interpretují) časové a prostorové souřadnice.

Nic víc už k relativitě současnosti nepotřebuješ, vše ostatní to jen komplikuje a zamlžuje. Stačí pochopit, co tyhle vztahy znamenají a jak je správně interpretovat. A použitá matematika obsahuje jako nejsložitější věc odmocninu, ale ta se při výpočtu ani nepoužívá, takže jen sčítání a násobení).

Vidim tedy, ze ten prodlouzeny vzorec ma nejake uplatneni.

Jednu otazku by bylo dobre odpovedet a to jestli muze byt priklad, kde v soustave zeme budou udalosti soucasne ale nesoumistne, ale v soustave rakety by vysly nesoucasne, ale soumistne?

Pokud si reknem, ze pohybem se krati jak prostor tak i cas, tak asi ne, ale pokud se na to budeme divat tak, ze prostor se sice krati, ale cas dilatuje (tedy prodluzuje), tak by to snad mozne mohlo byt?

Zvedavec 4

$O P R A V A :$

Tyhle 3 priklady jsou ten pripad, kdy:

v=259 807.621km/s; dolet rakety je $x_{1}$ =259 807.621km; misto udalosti $x_{2}$ =173 205.08km; dolet rakety $t_{1}$ a okamzik udalosti $t_{2}$ jsou soucasne, tedy $t_{1}$ = $t_{2}$ =1s; gama=2;

$Potom:$

$t'=\gamma (t-\frac{vx}{c^{2}})=2(1-\frac{259 807.621\cdot 259 807.621}{300 000^{2}})=2(1-0.75)=2(0.25)=0.5s$

$t'=\gamma (t-\frac{vx}{c^{2}})=2(0.666 666-\frac{259 807.621\cdot 173 205.081}{300 000^{2}})=2(0.666 666-0.5)=$ $=2(0.166 666s)=0.333 333s$ .

A potom $0.333 333s\cdot 1.5=0.5s$ ,

protoze $173 205.081km=\frac{259 807.621km}{1.5}$ $!!!!$

$t'=\gamma (t-\frac{vx}{c^{2}})=2(0.333 333-\frac{259 807.621 \cdot [259 807.621-173 205.081]}{300 000^{2}})=$
$=2(0.333 333-\frac{259 807.621 \cdot 86 602.54}{300 000^{2}})=$ $=2(0.333 333s-0.25s)=2(0.083 333s)=0.166 666s$ a potom $0.166 666s\cdot 3=0.5s$ ,

protoze $86 602.54km=\frac{259 807.621km}{3}$ $!!!!$