Matematické Fórum

Kate X · 27. 07. 2018 14:15

Prosím vás, mohl by mi někdo poradit jaký je poslední krok v řešení této soustavy:

x^2+xy+y^2=19
x^2+2xy-y^2 =7

Školním postupem jsem zatím došla k tomu že jsem to sečetla, tím se eliminovalo y^2. Výsledek se dá vytknout na x(2x+3y)=26. A pak už jsem v koncích. Ve škole jsme to řešili rozložením 26 na všechny kombinace 2 činitelů (přirozených), a potom každý dosadit jako x a dopočítat y. To jsem udělala... Mělo mi vyjít [1;8] a [26;-26/3] (pokud jsem si to tedy před víc než rokem dobře zapsala). Vyšlo mi to první, pak 2) [26;53/3],3) [2;3], 4)[13;-8].

Zkouška mi vychází jen u 3). (takže to, co mám zapsané že měl být výsledek, je asi blbě). Nejsem si jistá, jestli jsem tem poslední krok udělala správně. Navíc x by mohl být stejně tak dobře nějaký zlomek, což to komplikuje ještě víc...

Prosím vás, jakým způsobem to tedy dořešit? (grafem nemůžu, kuželosečky jsme ještě nebrali a pochybuju, že bych je sama pochopila tak abych to mohla použít...)

jelena · 27. 07. 2018 20:57

Zdravím,

Navíc x by mohl být stejně tak dobře nějaký zlomek, což to komplikuje ještě víc...

to máš pravdu, pokud nevíme, z jakého číselného oboru jsou x, y, pouhým rozkladem na činitele výrazu x(2x+3y)=26 nemůžeme prokázat, že máme podchycené všechny kořeny. Zkusila bych metodu dosazovací.
Z $x(2x+3y)=26$ je $y=\frac{26-2x^{2}}{3x}$ , dosazení do 1. rovnice vede na rovnici 4. stupně, která ale půjde řešit substituci (pokud jsem neudělala nějakou chybu při pokusu úprav).

Zatím nevidím nějakou jinou "hezkou metodu" úprav původní soustavy, ale ještě se podívám. Mohli jste používat dosazovací metodu? Děkuji za upřesnění.

Kate X · 27. 07. 2018 22:27

Nejspíš mohli, taky jsme se ji učili, i když zrovna tohle mám pocit byl vzorový příklad (i když v tom případě nevím, proč jsme to řešili tak divně)

Díky za radu, zkouším tvůj postup, i když zatím někde asi pořád dělám chybu, protože se nemůžu zbavit třetí a první mocniny, takže k substituci jsem ještě nedošla...

gadgetka · 27. 07. 2018 23:18

Zdravím, měla by ti vyjít rovnice:

$7x^4-197x^2+676=0$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

zdenek1 · 29. 07. 2018 17:29

↑ Kate X: ↑ jelena:
Takovéto soustavy se dají pěkně řešit substitucí $y=ax$
dostaneš soustavu
$\begin{cases}x^2(1+a+a^2)=19\\ x^2(1+2a-a^2)=7\end{cases}$
a porovnáním $x^2$ pak obyčejnou kvadratickou rovnici
$\frac{19}{1+a+a^2}=\frac{7}{1+2a-a^2}$
a dopočítáš postupně $a$ , $x^2$ a $y$

Rumburak

↑ Kate X:

Ahoj. Zkusil bych následující způsob.

Máme tedy soustavu

x^2+xy+y^2=19
x^2+2xy-y^2 =7.

Když do ní dosadíme y = 0, dostaneme soustavu x^2=19, x^2 =7, což je spor, takže případ y = 0
nastat nemůže. Odtud plyne, že se nedopustíme chyby, když každou rovnici zadané soustavy vydělíme
výrazem y^2, který je nutně také nenulový.

Obdržíme tak soustavu

$$\frac{x}{y}$^2 + \frac{x}{y} + 1 = \frac{19}{y^2} , \\ $\frac{x}{y}$^2 + 2\cdot\frac{x}{y} - 1 = \frac{7}{y^2}$ ,

v níž provedeme substituci $\frac{x}{y} = u, \frac{7}{y^2} = v$ . Dojdeme tak k soustavě

$u^2 + u + 1 = \frac{19}{7} v , \\ u^2 + 2u - 1 = v$ .

Odečtením druhé rovnice od první obdržíme lineární vztah mezi neznámými $u, v$ .

EDIT. Nebo můžene ihned vyloučit ze soustavy proměnnou $v$ (která je v obou rovnicích jen v první mocnině)
a tím obdržet kvadratickou rovnici o neznámé $u$ . Dále snad jasné.