Matematické Fórum

Kubas126 · 01. 08. 2018 19:23

ahoj,
jen můžu se zeptat prosím, jak se odvodí tento (tyto) vzorec(e)?
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
že asi přes binomickou větu to asi nejde co?
díky moc :)

MichalAld · 01. 08. 2018 19:29

Nejjednoduší "odvození" je, že se uhádnou, a pak se (už celkem jednoduše) ověří, že platí. Stačí to roznásobit.

Kubas126 · 01. 08. 2018 19:44

↑ MichalAld:
nj ale pokud někdy budu psát nějaký test a nevybaví se mi tento vzorec, tak je nějaký způsob jak ho odvodit? :D

gadgetka · 01. 08. 2018 21:00

Zdravím, když si zapamatuješ alespoň (a-b), případně (a+b), stačí jím pak mnohočlen podělit a dostaneš druhý činitel součinu. :)

check_drummer · 01. 08. 2018 21:54

↑ Kubas126:
Ahoj, že se levá strana rovná pravé zjistíš roznásobením. Ale můžeš se legitimně zeptat, jak přijít zrovna na takové dva činitele, které dají tak hezký součin. Takže spíš se zaměřme jak rozložit levou stranu na pravou (uvažujme první vzorec). Pokud chápeš levou stranu jako polynom s proměnnou $a$ a parametrem $b$ , tak je zřejmé, že jeho kořen je b - a tedy lze výrazem (a-b) ten polynom vydělit. Pak lze postupovat tak, že vydělíme ty dva polynomy a nebo lze obecněji pracovat v komplexních číslech a zjistit i další dva kořeny toho polynomu součinem kořenových činitelů, které odpovídají těm dvěma komplexním kořenům (jsou komplexně sdružené), získáme ten druhý člen. Vlastně jde o binomickou rovnici.

Kubas126 · 01. 08. 2018 22:27

aha, díky za rady :)
takže chápu to správně, že vezmu:
$\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b}$
$=\frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{a-b}$
$=a^{2}+ab+b^{2}$ a tím jsem získal ten druhý součin (akorát jsem tam předtím musel uplatnit ten vzorec, což se mi zdá dost efektivní, za předpokladu že ho zapomenu :D )