Matematické Fórum

Kubas126 · 03. 08. 2018 13:00

Ahoj, můžu se prosímm zeptat jak řešit tento typ příkladu?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-08/93970_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png
konkrétně co tam dělá to n? to se jedná o nekonečnou posloupnost?
díky

vlado_bb · 03. 08. 2018 13:20

↑ Kubas126: Postupnost (kazda) je nekonecna, ale v otazke sa pytaju na sucet jej prvych $n$ clenov, kde $n$ je prirodzene cislo. A ako zistit, ktoa z moznosti je spravna? Podla mna v tomto pripade tak, ze vies (alebo si to odvodis), aky je sucet prvych $n$ clenov aritmetickej postupnosti. (Je tu este moznost pockat, az to niekto urobi za teba, ako sa prave stalo.)

kerajs · 03. 08. 2018 13:21 — Editoval kerajs (03. 08. 2018 13:24)

$S_m=\frac{a_1+a_m}{2}\cdot m=\frac{2a_1+(m-1)d}{2}\cdot m \\ S_{n+1}=....\\ S_{n}=....$

Kubas126

↑ vlado_bb:
aha a za to n si teda můžu dosadit jakýkoliv číslo chci? :D
čili můžu za n dosadit 2 (jako první dva prvky) a mělo by mi vyjít 3 pochopil jsem to správně?
(tam u které otázky mi pak vyjde 3 (jako součet všech prvních 2 prvků) tak ta bude spávně a, kde mi vyjde jiné číslo tak bude špatně)

vlado_bb

↑ Kubas126: Ano, za $n$ si samozrejme mozes dosadit cislo 2. Pojde potom o sucet prvych dvoch clenov. Ale neviem, preco by to malo vyjst 3. Ak je napriklad prvy clen aritmetickej postupnosti $1000$ a diferencia $5$ , tak prve cleny tej postupnosti su $1000, 1005, 1010, 1015, 1020, \dots$ . Asi aj sam vidis, ze sucet prvych dvoch nie su tri (ale $2005$ ).

Skutocne by bolo najlepsie najprv si odvodit vztah pre sucet prvych $n$ clenov aritmetickej postupnosti. V uplne prvom kroku by si ich mal zvladnut aspon napisat. Zvladnes?

Kubas126

↑ vlado_bb:
jsem myslel, že nahoře vedle toho zadání té posloupnosti je to K=1,2... tak že to jsou první dva prvky té posloupnosti

vlado_bb · 03. 08. 2018 14:23

↑ Kubas126: Ano, $a_1$ je prvy clen postupnosti, $a_2$ druhy, $a_{12}$ dvanasty, $a_k$ je jej $k$ -ty clen.

Kubas126 · 03. 08. 2018 14:35

ps. chápu správně ten výpočet té sumy třeba u toho prvního příkladu?
$\sum_{k=1}^{n+1}a_{k}=(n+1)\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2}$
$n=2$
$\sum_{k=1}^{2+1}a_{1}=(2+1)\frac{a_{1}+a_{2+1}}{2}$
$\sum_{k=1}^{3}a_{1}=3\frac{1+2}{2}$
$\sum_{k=1}^{3}a_{1}=\frac{9}{2}$

$\sum_{k=2}^{2+1}a_{2}=(2+1)\frac{a_{1}+a_{2+1}}{2}$
$\sum_{k=2}^{3}a_{2}=\frac{9}{2}$

$\sum_{k=3}^{2+1}a_{3}=(2+1)\frac{a_{1}+a_{2+1}}{2}$
$\sum_{k=3}^{3}a_{3}=\frac{9}{2}$

$S_{2}=a_{1}+a_{2}+a_{3}$
$S_{2}=\frac{9}{2}+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}$
$S_{2}=\frac{27}{2}$

tudíž výrok je nepravdivý pochopil jsem to správně? :)
moc díky :)

vlado_bb

↑ Kubas126: O akej postupnosti uvazujes? Pretoze z vyrazu $\sum_{k=1}^{3}a_{1}=3\frac{1+2}{2}$ sa zda, ako keby si si myslel ze $a_1=1$ , ale z vyrazu $S_{2}=\frac{9}{2}+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}$ ako keby bolo $a_1 = \frac 92$ .

Dalej - lave strany tvojich zapisov su akesi zvlastne. Napriklad $\sum_{k=1}^{3}a_1$ je $a_1+a_1+a_1$ , to si ale asi nemal na mysli.

Do tretice - nepohnes s tym kym nepochopis co je to sucet prvych $n$ clenov postupnosti.

Kubas126 · 03. 08. 2018 15:00

↑ vlado_bb:
ten vzorec na soucet prvních n clenů arit. posl. znám

$S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})$

vlado_bb

↑ Kubas126: V poriadku. Ak ho nielen vies ale mu aj rozumies, tak by nemal byt problem okamzite uvidiet, ktore z moznosti v texte ulohy su spravne. Pochopitelne, mozes si to overit na nejakej konkretnej postupnosti - minimalne tym vylucis nespravne moznosti.

V poslednych dvoch moznostiach odporuzam vyjadreit $a_n$ a $a_{n+1}$ pomocou prveho clenu a diferencie.

Kubas126 · 03. 08. 2018 15:15

↑ vlado_bb:
možná nechápu tyhle sumy, které tam jsou, že obecně sumu snad řešit umim, ale tady si nejsem zas tak moc jistý. v této sumě tam je rovnice?

vlado_bb · 03. 08. 2018 15:18

↑ Kubas126: Nie, rovnica je uloha najst neznamu, napriklad $x+4=0$ je rovnica. Tu ie skor o rovnosti, teda konstatovanie, ze nieco je pravda, rovnost je napriklad $a+b=b+a$ . No a od teba sa chce aby si povedal, ktore z uvedenych rovnosti su spravne a ktore nie.

Kubas126 · 03. 08. 2018 15:26

↑ vlado_bb:
a pochopil jsem správně tu sumu, že se obecně řeší nějak takto? (jako že si vypočítám jednotlivé členy a pak je všechny sečtu)
$\sum_{2}^{3}m_{2}=3$
$\sum_{3}^{3}m_{3}=2$
$m_{2}+m_{3}=5$

vlado_bb

↑ Kubas126: Zapis $\sum_{2}^{3}m_{2}=3$ znamena $m_2+m_2=3$ . Zapis $\sum_{3}^{3}m_{3}=2$ znamena $m_3=2$ . Z prveho dostavame $m_2=\frac 32$ , a teda $m_2+m_3= \frac 32 +2 = \frac 72$ . Teda, chapem to ako $\sum_{k=2}^{3}m_{2}=3$ a $\sum_{k=3}^{3}m_{3}=2$ . Uvadzaj radsej aj sumacne indexy.

Kubas126 · 03. 08. 2018 15:36

↑ vlado_bb:
joo myslel jsem to nějak takto:
$\sum_{k=2}^{3}m_{k}=k+1$
a ted když do té sumy dosadím:
$\sum_{k=2}^{3}m_{2}=3$
$\sum_{k=3}^{3}m_{3}=4$
byl by konečný výsledek sumy:
$m_{2} + m_{3}=7$

moc diky :)

vlado_bb · 03. 08. 2018 15:42

↑ Kubas126: Takto zapisane to nedava zmyslel: prvy riadok $\sum_{k=2}^{3}m_{k}=k+1$ totiz znamena

$m_2 + m_3 = k+1$

Co za co dosadzujes?

misaH · 03. 08. 2018 20:21 — Editoval misaH (03. 08. 2018 20:32)

↑ Kubas126:

$\sum_{k=1}^{n+1}a_{k}=\color{red}a_1+a_2+\cdots+a_{n+1}\color{black}=(n+1)\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2}$

Pod tou sumou si treba predstaviť to červené.

ačka sú členy aritmetickej postupnosti, pre ktorú platí určitá definícia ( $a_1$ samozrejme nemusí byť číslo 1 - ako ti už napísal vlado_bb, zdravím :-) )

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A otázka je, či tá čierna rovnosť pre aritmetickú postupnosť s n+1 členmi platí.

Matematické Fórum

#1 03. 08. 2018 13:00

Arit. posl.

#2 03. 08. 2018 13:20

Re: Arit. posl.

#3 03. 08. 2018 13:21 — Editoval kerajs (03. 08. 2018 13:24)

Re: Arit. posl.

#4 03. 08. 2018 13:29 — Editoval Kubas126 (03. 08. 2018 13:31)

Re: Arit. posl.

#5 03. 08. 2018 13:34 — Editoval vlado_bb (03. 08. 2018 13:37)

Re: Arit. posl.

#6 03. 08. 2018 13:54 — Editoval Kubas126 (03. 08. 2018 14:06)

Re: Arit. posl.

#7 03. 08. 2018 14:23

Re: Arit. posl.

#8 03. 08. 2018 14:35

Re: Arit. posl.

#9 03. 08. 2018 14:48 — Editoval vlado_bb (03. 08. 2018 14:50)

Re: Arit. posl.

#10 03. 08. 2018 15:00

Re: Arit. posl.

#11 03. 08. 2018 15:07 — Editoval vlado_bb (03. 08. 2018 15:09)

Re: Arit. posl.

#12 03. 08. 2018 15:15

Re: Arit. posl.

#13 03. 08. 2018 15:18

Re: Arit. posl.

#14 03. 08. 2018 15:26

Re: Arit. posl.

#15 03. 08. 2018 15:28 — Editoval vlado_bb (03. 08. 2018 15:30)

Re: Arit. posl.

#16 03. 08. 2018 15:36

Re: Arit. posl.

#17 03. 08. 2018 15:42

Re: Arit. posl.

#18 03. 08. 2018 20:21 — Editoval misaH (03. 08. 2018 20:32)

Re: Arit. posl.

Zápatí