Matematické Fórum

žabí hněv

Ahoj, mám určit definiční obor funkce $f(x)=x^x$

$f(x)=x^x=e^{xln(x)}$
tento výraz má smysl pro $x\in{(0,\infty)}$
tedy interval $(0,\infty)$ bude podmnožinou definičního oboru funkce

Pokud uvažuji $x=0$ , tak $0^0$ je neurčitý výraz, tedy v $x=0$ není funkce definovaná?

A jak je to s $x<0$ ? Mohu $(-x)^{-x}$ přepsat na $\frac{1}{(-x)^x}$ Tedy tento výraz má smysl i pro všechna $x<0$

Takže výsledný definiční obor této funkce bude $D(f)=\mathbb{R} \setminus\{0\}$ ?

Děkuji za rady

Rumburak

↑ žabí hněv:
Ahoj.

Případ $x<0$ je složitější, např. $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$ .

Obecně ovšem záleží na zvoleném "základním" číselném oboru (reálná čísla vs. komplexní čísla).
Probírali jste teorii funkcí komplexní proměnné, speciálně teorii analytických funkcí?

žabí hněv

↑ Rumburak:

Myslím, že jde o reálná čísla. Předmět je M1.

Je tedy ten definiční obor spravně? A ta úvaha ohledně bodu x=0 je také spravná ? Někde jsem četl, že $0^0=1$ jak to tedy je?

Rumburak

↑ žabí hněv:

Za těchto okolností můžeme vzorec $x^x := e^{xln(x)}$ využit pouze pro $x > 0$ , kdy všechny výrazy
v něm obsažené nabývají pouze reálných hodnot. Takže částí definičního oboru zkoumané funkce je tedy
určitě interval $(0, +\infty)$ , avšak není to definiční obor celý, jak ukazuje příklad

$(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$ .

Zkus obdobně vyšetřit případ, kdy je $x$ záporné CELÉ.

Poznámka.
Symbol $0^0$ sice standardně definován není, pokud vím, ale kdo chce, může si ho dodefinovat.
V tom případě bývá "rozumné" dodefinovat ho hodnotou 1 (napříklsd v teorii mocninných řad - funkce
daná mocninnou řadou a mající kladný poloměr konvergence je pak spojitá ve svém středu, což je
vlastnost zásadního významu). Záleží tedy na tom, jak to zavedl či nezavedl váš učitel daného
předmětu.

žabí hněv

[re]p570686|Rumburak[/re

Nechal jsem si část průběhu funkce vykreslit v Matlabu :

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-08/56178_grafXnaX.jpg

Co se týká chování funkce pro $x<0$ , tedy záporné hodnoty $x$ je funkce ve tvaru $f(-x)=(-x)^{(-x)}=\frac{1}{(-x)^x}$ a řeším pro která $x$ nemá daný výraz(restrikce funkce $f(x)$ na interval $(-\infty,0)$ ?) smysl.

Jmenovatel roven nule, což se pro žádné $x\in (-\infty,0)$ nestane, tedy i celý interval $(-\infty,0)$ je podmnožinou definičního oboru původní funkce.

Dodefinováním $0^0=1$ patří i $0$ do definičního oboru a získávám $D(f)=\mathbb{R}$

Lze to takto prezentovat?

Děkuji

jarrro · 14. 08. 2018 16:53 — Editoval jarrro (14. 08. 2018 17:10)

↑ žabí hněv:↑ žabí hněv:
$$-x$^{$-x$}$ a $x^x$ sú iné funkcie.
V reálnej analýze má $x^x$ zmysel iba keď
$x>0 \vee x\in\{-\frac{p}{q};\[p,q\]\in\mathbb{N}^2 \& D{$p,q$}=1\& $\(\exists k\in\mathbb{N}_0$$q=2k+1$\)\}$
teda napríklad $$-\frac{1}{2}$^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{$-\frac{1}{2}$^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{-\frac{1}{2}}}$ má zmysel iba v komplexnej analýze
Teda pre reálnu fciu f reálnej premennej x definovanú predpisom
$f{$x$}=x^x$ je prirodzený (vyplývajúci zo zmysluplnosti predpisu) definičný obor $D_f=$0,\infty$\cup \{-\frac{p}{q};\[p,q\]\in\mathbb{N}^2 \& D{$p,q$}=1\& $\(\exists k\in\mathbb{N}_0$$q=2k+1$\)\}$

žabí hněv · 14. 08. 2018 17:38

↑ jarrro:

Trochu nechápu ten zápis.

X patří do množiny zlomků $-\frac{p}{q}$ , kde $p$ i $q$ jsou přirozená čísla, $D(p,q)=1$ nerozumím a ta poslední podmínka, že q je liché číslo?