Matematické Fórum

Kotlopou

Po delším výpočtu jsem trochu ztratil přehled o tom, co vlastně dělám. Potřebuju vědět, má-li můj výsledek vůbec nějaký fyzikální význam a pokud ano, jestli je dobře.

Došel jsem k závěru, že kilogramová metrová tenká homogenní tyč, na jejíž konec ve směru kolmém na směr tyče působí síla 1 N po dobu 1 s, začne rotovat s dobou otáčky π/2 sekundy.

Situace znázorněna v malování:

http://forum.matweb.cz/upload3/img/ … cetyce.png

Obecněji: Celková hybnost tyče je p Ns. Pozn. hybnost, nikoli moment hybnosti. Tady je hlavní bod otázky: Má pojem hybnost vůbec smysl pro rotující objekt? Pokusil jsem se ji určit integrálem hybnosti po délce tyče (v každém bodě určit rychlost, vynásobit hmotností a "posčítat"). Vyšel mi vztah:

$t =\frac{\pi \rho r^{2}}{2p}$

Kde:
$\rho$ je jednorozměrná hustota tyče (kilogramy na metr)
r je délka celé tyče
p je hybnost
t je doba jedné otáčky

Otázka: Má tohle vůbec nějaký význam?

zdenek1 · 12. 08. 2018 08:55

↑ Kotlopou:
Není to nějaké složité, to co popisuješ.

Elementárně platí
$M=J\varepsilon$ (M - moment síly, J - moment setrvačnosti a $\varepsilon$ - úhlové zrychlení)
Pro tvoji konkrétní situaci
$F\frac l2=\frac1{12}ml^2\frac{2\pi}{Tt}$ (T - perioda, t - doba po kterou působí síla)

další použité vztahy: $\omega =\frac{2\pi}{T}$ , $\varepsilon =\frac{\omega }{t}$

zbytek je triviální

Kotlopou · 12. 08. 2018 10:15

Dobře, ale to neodpovídá na mojí otázku (nebo to tam teď jenom nevidím), mě zajímá, jestli má v tom příkladu význam hybnost.

MichalAld · 12. 08. 2018 12:23

Kotlopou napsal(a):
Dobře, ale to neodpovídá na mojí otázku (nebo to tam teď jenom nevidím), mě zajímá, jestli má v tom příkladu význam hybnost.

První chyba je už v tom obrázku - máš tam sílu a máš tam "střed rotace". Pokud bys to chtěl opravdu fyzikálně správně analyzovat, musíš tam doplnit další sílu (síly) tak, aby se to vlivem těch sil otáčelo kolem toho středu, jak si přeješ.
Jinými slovy, ten "střed rotace", pokud jen nějak mechanicky vytvoříme, nám vytváří dodatečné (tzv. vazbové) síly.

A nebo se tím do takové hloubky zabývat nechceš, a pak využiješ toho, že už to někdo udělal před tebou, a že při rotaci kolem osy lze využít "newtonův zákon pro rotaci". Tj. namísto zrychlení je úhlové zrychlení, namíst rychlosti úhlová rychlost, namísto hybnosti "úhlová hybnost" (moment hybnosti) a namísto síly "úhlová síla" (moment síly).

Pokud jde o hybnost při rotačním pohybu - je to tak, že pro každý element hmoty lze spočítat element hybnosti (a nakonec pro každý element hmoty lze aplikovat i newtonův zákon, akorát bychom museli vyjádřít i příslušný element síly, což se dost špatně dělá.

Problém ale je, že když všechny elementy hybnosti sečteme, dostaneme celkovou hybnost nulovou. No, on to není problém, ale prostě to tak je. Je však zřejmé, že pokud je celková hybnost nulová, nemusí to nutně znamenat, že se tam nic nepohybuje. Sám rotační pohyb je příkladem.

Rotace kolem osy je jednoduchá situace, takže má také jednoduché řešení v podobě zavedení momentu hybnosti a momentu síly atd.

Mohou být i mnohem složitější situace, které takto jednoduše nevyřešíme (i když celkovou hybnost i celkový moment hybnosti spočítat můžeme). Příkladem je třeba proudění tekutin (kapalin/plynů). Tam to jednoduše řešit nelze - a vlastně je to dodnes otevřená otázka.

U tuhého tělesa je to ale jednoduché, pohyb tuhého tělesa lze vždy popsat jednou "translací" - té odpovídá ta hybnost, a třemi prostorovými rotacemi. Pokud je osa rotace pevně daná, vystačíme si s jednou translací (hybnost) a jednou rotací (momentem hybnosti).

MichalAld

Kotlopou napsal(a):
Obecněji: Celková hybnost tyče je p Ns. Pozn. hybnost, nikoli moment hybnosti. Tady je hlavní bod otázky: Má pojem hybnost vůbec smysl pro rotující objekt? Pokusil jsem se ji určit integrálem hybnosti po délce tyče (v každém bodě určit rychlost, vynásobit hmotností a "posčítat"). Vyšel mi vztah:

$t =\frac{\pi \rho r^{2}}{2p}$

Kde:
$\rho$ je jednorozměrná hustota tyče (kilogramy na metr)
r je délka celé tyče
p je hybnost
t je doba jedné otáčky

Otázka: Má tohle vůbec nějaký význam?

Tohle je určitě špatně. Celková hybnost rotující tyče musí vyjít nulová.
Tedy za předpokladu, že rotuje kolem svého těžiště. Jinak to tak být nemusí, hybnost by se periodicky měila (podobně jako rychlost) během jedné otáčky. Ale samotná tyč takto rotova nemůže, musela by být k něčemu přimontovaná, a to něco by muselo dodat zbytek hybnosti, tak, aby součet vyšel nula.

Pokud se nějaký krám ve vesmíru nepohybuje (ve smyslu, že nemění svoji polohu - může se nějak "třebat" nebo vibrovat nebo rotovat, ale pořád na stejném místě - v tom případě musí vyjít celková hybnost nulová. Hybnost nelze nijak skrýt uvnitř systému - narozdíl od energie.

Nejspíš si to při výpočtu nesčítal vektorově - nezohlednil jsi, že na každé polovině tyče má hybnost opačný směr - takže se navzájem vyruší.

Kotlopou · 13. 08. 2018 12:54

Už vidím chybu, nepočítal jsem hybnost jako vektor. Pokud bychom ale posčítali jen velikost hybnosti, vychází to?

Otázka trochu mimo: Pokud by ta síla působila pořád, jak by se tyč pohybovala? Síla se pohybuje s tyčí, tj. něco jako tryska.

MichalAld · 13. 08. 2018 14:16

Kotlopou napsal(a):
Už vidím chybu, nepočítal jsem hybnost jako vektor. Pokud bychom ale posčítali jen velikost hybnosti, vychází to?

Ne, s vektory musíme počítat jako s vektory, nelze sčítat jejich velikosti.

Je to podobné, jako bys chtěl sčítat kladná a záporná čísla (zisky a dluhy) tak, že budeš sčítat jen jejich velikosti.
Nedostaneš nic smysluplného.

Kotlopou · 14. 08. 2018 14:24

Tak dejme tomu, že posčítáme kinetickou energii. To by se asi taky dalo použít. Celková velikost hybnosti by nám mohla říct něco jako účinek síly? Proč má význam celková energie, ale ne celková velikost hybnosti, když jediný rozdíl je mocnina rychlosti?

MichalAld · 14. 08. 2018 17:08

Kotlopou napsal(a):
Proč má význam celková energie, ale ne celková velikost hybnosti, když jediný rozdíl je mocnina rychlosti?

Ono i u energie můžeš narazit, když budeš sčítat jen "velikost energie". I energie může být záporná (vazebná energie), i když u kinetické energie se s tím nesetkáš.

Každopádně, energie je skalár, takže se sčítá jako skaláry, hybnost je vektor, takže se sčítá jako vektory.

Sčítat jen velikost čehokoliv je obecně blbost. Správný výsledek to může dát jen tedy, když jde o skalární veličinu, co je vždycky kladná. Což ovšem nemůžeme asi vždy dopředu vědět...

Matematické Fórum

#1 11. 08. 2018 21:13 — Editoval Kotlopou (11. 08. 2018 21:14)

Hybnost a moment hybnosti

#2 12. 08. 2018 08:55

Re: Hybnost a moment hybnosti

#3 12. 08. 2018 10:15

Re: Hybnost a moment hybnosti

#4 12. 08. 2018 12:23

Re: Hybnost a moment hybnosti

Kotlopou napsal(a):

#5 12. 08. 2018 15:50 — Editoval MichalAld (12. 08. 2018 15:51)

Re: Hybnost a moment hybnosti

Kotlopou napsal(a):

#6 13. 08. 2018 12:54

Re: Hybnost a moment hybnosti

#7 13. 08. 2018 14:16

Re: Hybnost a moment hybnosti

Kotlopou napsal(a):

#8 14. 08. 2018 14:24

Re: Hybnost a moment hybnosti

#9 14. 08. 2018 17:08

Re: Hybnost a moment hybnosti

Kotlopou napsal(a):

Zápatí