Matematické Fórum

marostul · 12. 08. 2018 22:31

Dobrý deň. chcel by som sa opýtať ako silou sa budú priťahovať dva rovnaké elektrické náboje ktoré letia paralelne vedľa seba vo vákuu. Elektricky sa budú odpudzovať ale magneticky by sa mali priťahovať. Predpokladám, že aby sa sily vyrovnali museli by elektrické náboje letieť rýchlosťou c. Lorenzová má vzťah $F=q\cdot (E+v*B)$ . neviem ako mám napísať vektorový súčin v x B. s tohto vzorca potrebujem odvodiť v pri F=0. Nevychádza mi to pri magnetickej sile. pre magneticku silu počítam podľa vzorca $F_{m}=q_{1}\cdot v\cdot B=q_{1}\cdot v\cdot \mu _{0}\cdot \frac{q_{2}\cdot v}{d}=v^{2}\cdot \mu _{0}\cdot \frac{q_{1\cdot q_{2}}}{d}$ pri rovnosti q1 a q2, môžeme vzorec prepísať na $F_{m}=v^{2}\cdot \mu _{0}\cdot \frac{q^{2}}{d}$ . tu ale niekde robím chybu lebo rovnica sa musí rovnať rovnici $F_{e}=\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0}}\cdot \frac{q^{2}}{r^{2}}$ . Vzdialenosť d a r je pri tom rovnaká. chýba mi tam $\frac{1}{4\pi \cdot d}$ aby rovnica sa mohla vykrátiť. Chybu robím asi vo vektorovom súčine.

MichalAld · 12. 08. 2018 23:27

Předpoklad, že se síly vyrovnají při rychlosti světla (ve smyslu limity) je (nejspíš) správný.

Nicméně pokud se částice pohybují relativistickými rychlostmi, je elektrické i magnetické pole kolem nich jiné, než pokud částice stojí (nebo "téměř stojí).

Pokud by tě to moc zajímalo, můžu ti vztahy někde dohledat. Přesně si je z hlavy nepamatuji.

Ovšem výsledek lze předpovědět i tak, že nejprve spočítáme, za jak dlouho se dva odpuzující-se náboje v klidu vzdálí o vzdálenost dy, no a pak to přetransformujeme do pohybující se soustavy - z čehož plyne, že na čas musíme aplikovat vzorec pro dilataci času.

To nám stačí jako důkaz, že magnetická síla nikdy nepřekoná tu elektrickou, náboje se nikdy nezačnou přitahovat.

Stejně tak dobře lze aplikovat Lorentzovu transformaci přímo na vektory E a B - ale málokdo ví, jak se to správně dělá. E a B totiž nejsou čtyřvektory a ani z nich nelze čtyřvektory vytvořit. Namísto toho je třeba z nich složit čtyřtenzor 2. řádu (matici) a tu pak transformovat.

Nebo nepoužívat E a B, ale používat elektromagnetický čtyřpotenciál.

marostul · 24. 08. 2018 11:30

Ďakujem za vysvetlenie. Ja som iba teoreticky uvažoval nad rovnicami pre sily vo vákuu magnetická $F_{m}=\mu _{0\cdot }I_{1\cdot }\frac{I_{2}}{2\pi \cdot d}\cdot l$ kde výraz $\mu _{0}\cdot \frac{I_{2}}{2\pi \cdot d}$ je indukcia okolo jedného vodiča a pri rovnosti prúdov môžeme zapísať rovnicu $F_{m}=\mu _{0}\cdot \frac{I^{2}}{2\pi \cdot d}\cdot l$ keď poznáme silu môžeme si odvodiť prúdy $I^{2}=F_{m}\cdot \frac{2\pi \cdot d}{l\cdot \mu _{0}}$ veľkosť sily magnetickej sily sa bude rovnať elektrickej sile Fe $F_{e}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\cdot \frac{Q_{1 }\cdot Q_{2}}{r^{2}}$ . Pri rovnosti nábojov môžeme rovnicu prepísať na $F_{e}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{r^{2}}$ . Dosadením do rovnice dostávame veľkosť pre prúdy ktoré tečú vedľa seba rovnobežne vo vákuu kde prierez zanedbávame sú vo zdialenosti d=1m dĺžka vodičov je jeden meter a priťahujú sa silou 1C na každom vodiči ale treba si predstaviť ako bodové elektrické náboje. Dosadením hodnôt dostávame $I^{2}=\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0}}\cdot \frac{1^{2}}{1^{2}}\cdot \frac{2\pi \cdot 1}{\mu _{0}\cdot 1}$ Po vykráteni ostane $I^{2}=\frac{1}{2\cdot \varepsilon _{0}\cdot \mu _{0}}\Rightarrow I=\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\cdot \mu _{0}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot c$ .Pokiaľ by sme prud udávali ako $I=\frac{Q}{t}$ tak by presne vyšla rýchlosť paralelne letiacich nábojov veľkosti 1C vedľa seba vo vzdialenosti 1m $v=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot c$ tak aby odpudivá sila nábojov rovnala príťažlivej sile. je to ale iba za predpokladu, že indukcia okolo letiaceho náboja veľkosti 1C vo vzdialenosti 1m je $B=\mu _{0}\cdot \frac{Q\cdot v}{2\pi \cdot d\cdot l}$ . l počítame 1m pretože výraz $\mu _{0}\cdot \frac{Q\cdot v}{2\pi \cdot d}=B\cdot l$ . Nie som si istý či môžem výraz pre indukciu okolo letiaceho náboja použiť $B=\mu _{0}\cdot \frac{Q\cdot v}{2\pi \cdot d\cdot l}$

MichalAld · 24. 08. 2018 14:58

Problém je, že pole kolem letícího bodového náboje je trochu jiné než kolem stojícího.

Pokud víš, jak vypadá ELEKTRICKÉ pole kolem stojícího náboje (paprskovitě symetrické do všech stran), tak kolem letícího náboje se to změní tak, že složky pole mířící ve směru jeho letu jsou menší, vynásobené
$1-\frac{v^2}{c^2}$

složky pole mířící kolmo na směr letu jsou naopak silnější, vynásobené
$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Na tvůj problém to nemá přímý vliv, ale takto se to chová. Pokud jsi už slyšel o teorii relativity, tak asi pochopíš, že ty výrazy typu $v^2/c^2$ pocházejí právě odtud.

Pro magnetické pole kolem letícího bodového náboje platí celkem jednoduchý vztah,

$\overrightarrow{B}=\frac{\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{E}}{c^2}$

To násobení je tzv. vektorový součin, nevím jestli to znáš - znamená to, že velikosti vektorů se vynásobí (pokud jsou na sebe kolmé, pokud né, tak se ještě násobí sinem úhlu co svírají) a výsledný vektor je kolmý na oba dva předchozí.

Takže B musí být kolmé na E i na v, takže B tvoří kruhy kolem částice. To je celkem asi jasné.

A když si vzpomeneme na vztah pro sílu v elektromagnetickém poli, totiž

$F= q(E+v \times B)$

dostaneme pro magnetickou sílu vztah
$F_{mag}= q(v \times B)=q\frac{v \times v \times E}{c^2}$

zatímco elektrická síla je prostě
$F_{el}= qE$

Je zřejmé, že aby se elektrická a magnetická síla vyrovnaly, musí být $\frac{v \times v }{c^2}=1$ , tedy $v=c$

E, jak už jsem zmínil dříve, závisí nějakým způsobem na rychlosti, ale téhle předpovědi se to vlastně netýká.

MichalAld · 24. 08. 2018 15:10

K tomu pár poznámek. Z uvedeného vztahu pro magnetické pole

$\overrightarrow{B}=\frac{\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{E}}{c^2}$

je vidět, že i když nemůžeme přímo porovnávat elektrické a magnetické síly (protože ty magnetické závisí na rychlosti), tak za normálních podmínek (rychlosti se neblíží rychlostem světla) jsou magnetické síly v řádu $c^2$ slabší než ty elektrické. Takže vlatně úplně zanedbatelné.

To, že dokážeme kolem vodiče vytvořit magnetické pole bez toho, aby nám tam vzniklo i mnohem silnější pole elektrické je způsobeno tím, že náboje ve vodiči (kladné a záporné) jsou v dokonalé rovnováze. Tak dokonalé, že i síly $c^2$ krát slabší pozorujeme jako dominantní.

Pokud bychom měli částice jen s jedním nábojem, třeba houf elektronů, vůbec bychom se magnetickými silami nemuseli zabývat, byly by zcela zanedbatelné vůči těm elektrickým.

Teprve při rychlostech blízkých rychlosti světla začínají být magnetické síly srovnatelně velké jako ty elektrické.

marostul · 10. 09. 2018 22:07

Ešte by som sa dotkol permeability vákua. má hodnotu $\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}$ H/m. je odvodená z ampérovho zákona. Je logické, že tam musela byť hodnota $4\pi$ a keby sme previedli ampérovú definíciu hodnotu prúdu abA do metrickej sústavy tak by exponent bol $10^{-5}$ Hodnota $10^{-7}$ sa dosiahla tým, že bol zavedený ampér resp. ampér bol zavedený na tej hodnote. Musela sedieť do hodnoty c. Poznal už Lorentz túto hodnotu? Tiež nám musela pasovať rozmerová rovnica $A=\frac{C}{s}$ . Bolo ju možné spresniť aj pri inom výpočte?

MichalAld · 11. 09. 2018 10:16

Ona je permeabilita vakua taková zvláštní, dost umělá konstanta. Vlastně se používá jen z historických a technických důvodů.

Dnes, když už pořádně chápeme souvislost rovnic elektromagnetického pole a teorie relativity, tak vlastně žádná takováto fyzikální konstanta neexistuje.

Ty "správné" rovnice elektromagnetického pole obsahují jen konstantu "c" (říkáme jí rychlost světla, i když má mnohem obecnější význam) a dále konstantu $\epsilon_0$ (permitivita vakua).

Ta kkonstanta c, ať už znamená cokoliv, pochází z teorie relativity, a její velikost musí být v rovnicích el. mag. pole úplně stejná, jako je ve vztazích teorie relativity (ať už je její skutečná velikost jaká chce). Jinak by rovnice nebyly matematicky konzistentní, a teorie relativity by nemohla platit.

Premitivita vakua naproti tomu je skutečnou konstantou elektromagnetické interakce. Charakterizuje nám vztah mezi velikostí nábojů a jejich vzájemného působení. My samozřejmě vlastně nevíme, co to takový "náboj" je, víme, že některé částice jej mají (všechny stejný) a že se musí zachovávat. Náboj vlatně měříme "počtem elektronů", jeden elektron je ta "nejlepší" jednotka elektrického náboje. A permitivita nám jednoduše charakterizuje, jak na sebe dva elektrony působí.

Co se týče permeability, je to prostě konstanta vykombinovaná z těch dvou
$\mu_0 = \frac{1}{\epsilon_0 c^2}$

Zbytek jsou jen technické věci, které z fyzikou příliš nesouvisí. První věc je, že počet částic se nám měří docela těžko (dříve to nešlo vůbec), takže se jako základní jednotka stanovil proud, dle svých magnetických účinků, neboť to šlo jednoduše provést. A kdysi se ani nevědělo, kolik těch elektronů prou vlastně přenáší.
A další, trochu těžko pochopitelná věc, je, že její hodnota byla tzv. ZAFIXÓVÁNA (je to ta hodnota, co jsi zmiňoval). Tím je vlastně definována velikost jednoho ampérku, a v důsledku je tím také definována hodnta náboje elektronu. Ale klidně se mohla její hodnota stanovit libovolně jiná.

Klidně se mohlo stanovit, že hodnota permitivity bude prostě 1, a hodnota rychlosti světla taky, a pak by byla i hodnota permeability rovna jedné. Říká se tomu tzv. "přirozená volba jednotek". A ve fyzice se to občas používá, ve vztazích pak zmizí všechny ty konstanty.

MichalAld

marostul napsal(a):
Ešte by som sa dotkol permeability vákua. má hodnotu $\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}$ H/m. je odvodená z ampérovho zákona. Je logické, že tam musela byť hodnota $4\pi$

Né, nic logického na tom není. Je to jen proto, aby síla, kterou se přitahují dva vodiče, vycházela hezké číslo (protože $\pi$ je v Ampérově zákoně a je i (definitoricky) i v té konstantě, takže se to hezky vykrátí.

Ale konstana by mohla mít i úplně jinou (jakoukoliv) hodnotu - holt by pak byl jeden ampér jinak velký.

Ideální (z hlediska pochopení fyziky) by bylo ampér definovat nějak jinak, jako třeba "kýbl elektronů" za sekundu, a hodnotu konstanty stanovit experimentálně.

A nakonec - v budoucnu (možná už příští rok) se to tak bude dělat. Už nebude pravda, že permeabilita vakua je přesně $4\pi10^{-7}$ . Bude to všechno jinak.

Plánuje se totiž tzv "zafixování fyzikálních konstant", https://cs.wikipedia.org/wiki/Nov%C3%A9_definice_SI
Mimo jiné dojde k zafixování hodnoty elementárního náboje (náboje elektronu, např),
bude to přesně 1,602 176 634×10−19 C [As],

To bohužel vede k tomu, že jak permitivita tak i permeabilita vakua už přesnou hodnotu mít nebudou. Protože mezi elementárním nábojem a permitivitou/permeabilitou je vztah obsahující kvantovou konstantu (tzv. konstantu jemné struktury), která je bezrozměrná, a tudíž ji nelze žádnou volbou jednotek zafixovat. Je to cena za to, že byla zafixována hodnota elementárního náboje.

Chci tím jen říct, že úvahy na toto téma vezmou za chvíli za své, a demonstrovat tím, že hodnota permeability může být i jiná, než je teď.

Jednotku proudu 1A bude dokonce možné zrealizovat dvěma způsoby, jednak skrze nějaké kvantové děje, a také přímým odpočítáním elektronů (tzv. jedno-elektronové taktované pumpy), takže bude dokonce možné ověřit, jak přesně ten ampér realizujeme.

Matematické Fórum

#1 12. 08. 2018 22:31

sila pohybujúcich nábojov

#2 12. 08. 2018 23:27

Re: sila pohybujúcich nábojov

#3 24. 08. 2018 11:30

Re: sila pohybujúcich nábojov

#4 24. 08. 2018 14:58

Re: sila pohybujúcich nábojov

#5 24. 08. 2018 15:10

Re: sila pohybujúcich nábojov

#6 10. 09. 2018 22:07

Re: sila pohybujúcich nábojov

#7 11. 09. 2018 10:16

Re: sila pohybujúcich nábojov

#8 11. 09. 2018 17:58 — Editoval MichalAld (11. 09. 2018 17:59)

Re: sila pohybujúcich nábojov

marostul napsal(a):

Zápatí