Matematické Fórum

slender

Zdravím,
řeším následující úlohu:

Mějme lineární zobrazení $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ zadané předpisem $f(x, y, z)=(x+y+z, y+2z, 2x+y)$ . Je toto zobrazení prosté?

Postupoval jsem následovně:

(Pro přehlednost jsem označil množinu, ze které zobrazujeme jako $A$ , cílovou množinu pak $B$ , tedy $f:A\to B$ ).
Svůj postup jsem založil na úvaze, že pokud aplikuji $f$ na vektory báze $A$ , měly by tvořit bázi $B$ .

Vzal jsem tedy vektory kanonické báze $A$ a vypočítal jsem jejich obrazy:
$f(1, 0, 0)=(1, 0, 2)$
$f(0, 1, 0)=(1, 1, 1)$
$f(0, 0, 1)=(1, 2, 0)$

Obrazy jsem pak dal do matice, u kterou jsem upravil do trojúhelníkového tvaru, abych zjistil, zda je regulární:
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Matice má prázdný řádek, tedy není regulární a netvoří tedy bázi $B=\mathbb{R}^3$ . Zobrazení $f$ tedy není prosté.

Poradil by mi někdo, prosím, zda je to správná úvaha?

Andrejka3 · 24. 08. 2018 14:17

↑ slender:
Ahoj.
Ano, obrazy baze musi byt lin nezavisle vektory.

Často se používá postup založený na tvrzení níže.
Lineární zobrazení je prosté, právě když jeho jádro je triviální.
Znáš to?

Rumburak · 24. 08. 2018 14:22

↑ slender:

Ahoj.

Metoda je správná, ale existuje i jednodušší cesta.

Pro $f(x, y, z) := (x+y+z, y+2z, 2x+y)$ , což je lineární zobrazení,
sestavíme rovnici

(1) $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$ .

Ta má triviální řešení x = y = z = 0, ale vedle něj i netriviální řešení x = 1, y = -2, z = 1,
jak snadno zjistíme. Podle definice pojmu "prosté zobrazení" to znamená, že naše zobrazení f
prosté není.

Viz též věta "Lineární zobrazení je prosté právě tehdy, má-li nulové jádro".

slender · 24. 08. 2018 14:25

↑ Andrejka3: Díky za odpověď.

Sám jsem si na tvrzení nevzpomněl, ale po troše hrabání v poznámkách jsem tu větu našel. Kouknu se na to a zkusím to i přes jádro.

slender · 24. 08. 2018 14:26

↑ Rumburak: Díky za vysvětlení, procvičím si to.

Matematické Fórum

#1 24. 08. 2018 13:19 — Editoval slender (24. 08. 2018 13:36)

Ověření, zda lineární zobrazení prosté

#2 24. 08. 2018 14:17

Re: Ověření, zda lineární zobrazení prosté

#3 24. 08. 2018 14:22

Re: Ověření, zda lineární zobrazení prosté

#4 24. 08. 2018 14:23 Příspěvek uživatele laszky byl skryt uživatelem laszky. Důvod: Duplicita

#5 24. 08. 2018 14:25

Re: Ověření, zda lineární zobrazení prosté

#6 24. 08. 2018 14:26

Re: Ověření, zda lineární zobrazení prosté

Zápatí