Matematické Fórum

KubaP · 28. 08. 2018 13:51

Ahoj, vysvětlí mi prosím někdo proč nemohu z $tg^{-1}(x)$ udělat $\frac{1}{tg(x)}$ ?
Když umocňuji $x^{-1}$ , tak lze zapsat ve tvaru zlomku $\frac{1}{x}$ ...
Proč to u gon. funkce nejde? Je nějaké výpočetní vysvětlení? Graficky chápu, že první je arctg a druhé je cotg..

Rumburak

↑ KubaP:
Ahoj.

I. Pokud $a^{-1}$ znamená $\frac{1}{a}$ , tedy inversní prvek k nenulovému číslu $a$ vzhledem
k operaci násobení, pak identita

$tg^{-1}(x) = \frac{1}{tg(x)}$

samozžejmě PLATÍ (pro taková $x$ , aby levá i prava strana uvedené rovnosti měla
smysl - která $x$ to jsou ?).

II. Je-li $f$ prostá funkce, pak $f^{-1}$ může znamenat funkci inversní k funkci $f$
vzhledem k operaci skládání funkcí.
Například funkce $tg$ je na intervalu $$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$$ , prostá, takže její zúžení na
uvedený interval má inversní funkci, což je funkce $arctg$ .

Tato dvě pojetí inversnosti je třeba rozlišovat.

misaH · 28. 08. 2018 14:10 — Editoval misaH (28. 08. 2018 14:13)

Ahoj.

Asi ide o kakulačku...

Na mínus prvú sa berie niekedy ako "obrátená" funkcia, nie "prevrátená hodnota".

Teda vložíš sinx, stlačíš nejaký pupček s mocninou -1 a vyhodí ti to x patriace k tomu sinusu.

Na prevrátenú hodnotu slúži tlačidlo 1/x.

KubaP · 28. 08. 2018 14:38 — Editoval KubaP (28. 08. 2018 14:42)

Aha, takže jde jen o špatnou interpretaci funkce kalkulačky..
Takže na kalkulačce na -1 znamená "obrácená" funkce..
Děkuji za objasnění oběma :)

Každopádně ve své podstatě je $tg^{-1}(x)$ stejně tak jako $\frac{1}{tg(x)}$ obojí to stejné.. tedy cotg?
arccotg je tedy jen inverzní část funkce tg (tam kde si jí intervalem omezím jako prostou)?

zdenek1 · 28. 08. 2018 15:08

↑ KubaP:
Možná to myslíš dobře a špatně píšeš, takže ještě jednou:
algebraicky: $(\tan x)^{-1}=\frac1{\tan x}=\text{cotg}\, x$ (na příslušném def. oboru)

pro funkce: $f:\tan x$ , pak $f^{-1}:\arctan x$ (takže ne "arkuscotangens", nýbrž "arkustangens" (na příslušném def. oboru)

Rumburak

↑ KubaP:

Rovnost

(1) $\frac{1}{tg(x)} = cotg x$

platí pro většinu hodnot reálné proměnné $x$ (kdy ne ?).

Význam symbolu

(2) $tg^{-1}(x)$

závisí na interpretaci: může jím být míněno $arctg x$ , ale může jím být míněno i (1) (v tomto případě
ale dopručuji psát $(tg x)^{-1}$ , aby bylo jasné, že jde o inversi k číslu $tg x$ vůči operaci násobení
a nikoliv o inversi k funkci tg vůči operaci skládání funkcí).

Matematické Fórum

#1 28. 08. 2018 13:51

arctg vs tg^-1

#2 28. 08. 2018 14:08 — Editoval Rumburak (28. 08. 2018 14:35)

Re: arctg vs tg^-1

#3 28. 08. 2018 14:10 — Editoval misaH (28. 08. 2018 14:13)

Re: arctg vs tg^-1

#4 28. 08. 2018 14:38 — Editoval KubaP (28. 08. 2018 14:42)

Re: arctg vs tg^-1

#5 28. 08. 2018 15:08

Re: arctg vs tg^-1

#6 28. 08. 2018 15:10 — Editoval Rumburak (28. 08. 2018 15:28)

Re: arctg vs tg^-1

Zápatí