Matematické Fórum

josef03

Ahoj, poradí mi někdo, prosím, jak parciálně zderivovat tento příklad podle proměné A. Neumím si poradit s transpozicí T.

$-\frac{1}{2}*\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-A)^{T}*B^{-1}*(x_{i}-A)$

Moc děkuju
Josef

Rumburak

↑ josef03:
Ahoj.

To zadání se mi příliš nezdá. Symbol $(x_{i}-A)^T$ naznačuje, že výraz v závorce je maticí,
čímž ale vzniká otázka, co představují symboly $x_{i} , A$ . Mělo by jít o matice téhož typu.
Je tomu tak skutečně ?

Podle A se má derivovat. Jak se derivuje podle matice? Neříkám, že by se to nedalo zavést, neboť
matice je zároveň vektorem, ale doposud jsem se s tím nesetkal, proto je mi zadání podezřelé.

Kdybych byl pedant, tak bych se zeptal, jak se derivují PŘÍKLADY. Prozatím jsem se setkal jen
s derivacemi FUNKCÍ. Touto poznámkou jsem chtěl jen upozornit na důležitost přesného vyjadřování
v matematice :-).

Bati · 24. 08. 2018 12:38

Ahoj,

co je x_i nema na vysledek vliv. Spis by chtelo ujasnit jake nasobeni znaci *. Napr. pokud maticove, pak vyjde tenzor 4. radu. Transpozice je linearni zobrazeni, takze komutuje s derivaci. Tudiz to cele derivujes normalne jako soucin.

josef03 · 25. 08. 2018 10:25

Ahoj,

děkuji vám za přípsěvky. Jedná se o postupné zjednodušení vícerozměrného Gaussiánu. $x_{i}$ vyjadřuje sadu vektorů $[x1,x2...xD]^{T}$ , kde T dle mého vyjadřuje transpozici matice. Je tomu tak?
$A$ značí vektor střední hodnoty (sloupec o dimenzi D).
$B$ vyjadřuje kovarianční matici o dimenzi $DxD$ .

Potřebuju najít maximum pro odhad střední hodnoty $A$ , proto potřebuji tento výraz parciálně zderivovat podle této proměnné.

Výsledek má být tento: $\sum_{i=1}^{N}B^{-1}*(x_{i}-A)$

Bohužel, stále nevím, jak se k výsledku dostat.

Děkuji
Josef

Brano · 25. 08. 2018 12:32

najjednoduchsie je rozpisat si to v indexoch -t.j.
$-\frac{1}{2}\sum_{i}(x_{i}-A)^{T}B^{-1}(x_{i}-A)=$
$-\frac{1}{2}\sum_{i,m,n}(x_{i}^m-A^m)(B^{-1})^{mn}(x_{i}^n-A^n)$
tento vyraz teraz derivujeme podla $A^k$ , cize dostavame
$-\frac{1}{2}\sum_{i,m,n}-\delta^{mk}(B^{-1})^{mn}(x_{i}^n-A^n)+$
$\quad -\frac{1}{2}\sum_{i,m,n}(x_{i}^m-A^m)(B^{-1})^{mn}(-\delta^{nk})$
pricom $\delta^{pq}$ je kronekerov symbol
cize si to mozme upravit na
$\frac{1}{2}\sum_{i,n}(B^{-1})^{kn}(x_{i}^n-A^n)+\frac{1}{2}\sum_{i,m}(B^{-1})^{mk}(x_{i}^m-A^m)=$
$\frac{1}{2}\sum_{i,n}[B^{-1}+(B^T)^{-1}]^{kn}(x_{i}^n-A^n)$
a za predpokladu, ze $B$ je symetricka sa to zjednodusi na
$\sum_{i,n}[B^{-1}]^{kn}(x_{i}^n-A^n)$
co mozme prepisat maticovo, t.j. bez indexov ako
$\sum_{i}(B^{-1})(x_{i}-A)$

josef03 · 27. 08. 2018 23:55

↑ Brano:

moc děkuju za pomoc

josef03 · 28. 08. 2018 21:29

↑ Brano:

Ahoj, ještě si neumím poradit s vyřešením této rovnice. Vámi odvozený konečný výraz položím rovno nule a potřebuji získat vektor střední hodnoty $A$ .

$\sum_{i}(B^{-1})(x_{i}-A)=0$

Prosím, můžete mi ještě jednou pomoci?
Moc děkuju

laszky · 29. 08. 2018 01:05

↑ josef03:

Ahoj, rekl bych, ze staci vyuzit toho, ze

$\sum_{i=1}^N\mathbb{B}^{-1}\boldsymbol{x}_{i}=\sum_{i=1}^N\mathbb{B}^{-1}\boldsymbol{A} = N\mathbb{B}^{-1}\boldsymbol{A}$

josef03 · 31. 08. 2018 17:06

↑ laszky:

děkuju, už je mi to jasné

Matematické Fórum

#1 23. 08. 2018 21:17 — Editoval josef03 (23. 08. 2018 21:19)

parciální derivace příklad

#2 24. 08. 2018 11:19 — Editoval Rumburak (24. 08. 2018 13:01)

Re: parciální derivace příklad

#3 24. 08. 2018 12:38

Re: parciální derivace příklad

#4 25. 08. 2018 10:25

Re: parciální derivace příklad

#5 25. 08. 2018 12:32

Re: parciální derivace příklad

#6 27. 08. 2018 23:55

Re: parciální derivace příklad

#7 28. 08. 2018 21:29

Re: parciální derivace příklad

#8 29. 08. 2018 01:05

Re: parciální derivace příklad

#9 31. 08. 2018 17:06

Re: parciální derivace příklad

Zápatí