Matematické Fórum

slender · 31. 08. 2018 14:10

Zdravím,
snažím se vyřešit následující úlohu:

Nechť $V$ je množina matic $3\times 3$ , které mají vlastní číslo $0$ a přísluší mu vlastní vektor $(1, 2, 3)^T$ . Ukažte, že $V$ je vektorový prostor a určete jeho dimenzi.

Abych mohl ověřovat jednotlivé podmínky z definice vektorového prostoru, musím nejdřív ověřit, že je $V$ uzavřená na sčítání a násobení.

To se mi však nedaří. Zatím jsem dospěl k následujícím postřehům:

1. Protože mají všechny matice vlastní číslo $0$ , $V$ obsahuje pouze singulární matice.
2. V zadání je napsáno, že vlastní vektor $(1, 2, 3)^T$ náleží vlastnímu číslu $0$ . Vím tedy, že pro všechny matice $A\in V$ platí

$A\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=0\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Tedy pro každou matici $A\in V$ zapsanou jako $\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ platí:

$a + 2b + 3c = 0\\ d + 2e + 3f = 0\\ g + 2h + 3i = 0$

Netuším však vůbec, zda vůbec uvažuji správným směrem. Poradil by mi prosím někdo, jak určit uzavřenost na sčítání a násobení?

laszky · 31. 08. 2018 14:41

↑ slender:

Ahoj, rekl bych, ze pokud

$\mathbb{A},\mathbb{B}\in V$ a $\mathbb{C}=\mathbb{A}+\mathbb{B}$ , potom

$\mathbb{C}\cdot\boldsymbol{v} = \left(\mathbb{A}+\mathbb{B}\right)\cdot\boldsymbol{v} = \mathbb{A}\cdot\boldsymbol{v}+\mathbb{B}\cdot\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$

Podobne pro nasobky matice $\mathbb{C}$ .

Takze $\mathbb{C}\in V$ .

slender · 31. 08. 2018 18:40

↑ laszky:
To je vlastně pravda. Díky.

vanok · 31. 08. 2018 21:28 — Editoval vanok (31. 08. 2018 21:31)

Ahoj ↑ slender:,
Ano, vidim, ze mas dobry dokaz, ze ide o vektorovy priestor.
A aku si nasiel dimenziu?

slender · 01. 09. 2018 12:51

↑ vanok:
Zatím si myslím, že by dimenze mohla být 6:

Protože je každá matice $A\in V$ singulární, má nejvýše dva lineárně nezávislé řádky a sloupce. Tedy lze každou matici pomocí elementárních úprav transformovat na matici $A'\in V$ , která má nulový poslední sloupec.

Protože jde $A$ a $A'$ generují prostor stejné dimenze, stačí uvažovat pouze matice s nulovým posledním sloupcem.

Nyní můžu najít bázi prostoru matic s nulovým posledním sloupcem. Je zřejmé, že můžeme použít třeba ortogonální bázi:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Báze obsahuje šest matic, dimenze vektorového prostoru je tedy $6$ .

Je ale možné, že někde mám v úvaze nějakou chybu, když mě kdokoli opravíte, budu rád.

MichalAld

Podle mě to dává smysl, protože jak jsi sám na začátku napsal, pro prvky matice musí platit

slender napsal(a):
$a + 2b + 3c = 0\\ d + 2e + 3f = 0\\ g + 2h + 3i = 0$

A máš tam 9 proměnných (stupňů volnosti) a 3 rovnice, které omezují 3 stupně volnosti, takže zbývá 6 stupňů volnosti. (ten pojem "stupeň volnosti" se možná v algebře nepoužívá, nevím)

Jestli je ovšem správná i ta tvá úvaha, kterou jsi k šestce došel, to úplně jistě nevím.

MichalAld · 01. 09. 2018 13:11

slender napsal(a):
Je zřejmé, že můžeme použít třeba ortogonální bázi:...

Mě to třeba úplně zřejmé není - jak z těcht 6 matic vytvoříš (jejich lineární kombinací) nějakou matici, co v posledním sloupci nuly nemá (a přitom splňuje podmínku zadání - tj nulové vlastní číslo a požadovaný vlastní vektor)?

slender · 01. 09. 2018 14:08

↑ MichalAld: To je vlastně pravda.

Pokud bych ale postupoval analogicky, jen místo nulového posledního sloupce bych měl matice s nulovým posledním řádkem, pak skutečně můžu ke každé matici najít gaussovou eliminací matici s nulovým posledním řádkem.

Jen jsem tam neaplikoval ten požadavek na ten požadovaný vlastní vektor, což je chyba. (Matice bude mít určitě vlastní číslo 0, neboť je to singulární matice.)

Je ale možné, že tam někde dělám chybu, zkusím tedy raději vlastními slovy interpretovat tvou úvahu se stupni volnosti. S tím pojmem se setkávám poprvé, možná to tedy chápu špatně.

Máme tedy tři rovnice:
$a + 2b + 3c = 0\\ d + 2e + 3f = 0\\ g + 2h + 3i = 0$

Můžeme z nich vytvořit soustavu rovnic:
$\left( \begin{array}{ccccccccc|c} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \end{array} \right)$

V soustavě je 9 proměnných, matice soustavy má 3 lineárně nezávislé řádky. Dimenze řešení (a tedy i vektorového prostoru) je tedy $9-3=6$ .

vanok · 01. 09. 2018 15:15

Ahoj ↑ MichalAld:,
Normalne sa hovori o parametroch.
No tvoja myslienka je dobra.
V kazdej z rovnic mozme lubovolne vybrat 2 parametre.

Co sa skutocne da ( uz vo schodovitej forme) maticove napisat ako ↑ slender:.

No rad by som to videl napisane co to da ak vybereme b,c,e,f,h,i ako parametre.

Dalsie otazky potom...

Poznamka. Prispevok ↑ slender: je nepresny....

slender

↑ vanok:
Něco takového?
$\begin{pmatrix} -2b -3c & b & c \\ -2e -3f & e & f \\ -2h -3i & h & i \end{pmatrix}$

Abychom vygenerovali celý prostor V, můžeme třeba použít ortogonální bázi, kdy nastavíme na 1 právě jeden z parametrů:

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

…která má velikost 6.

laszky · 01. 09. 2018 16:34

↑ slender:

Ahoj, ja bych rekl, ze lepsi by bylo pouzit tuto bazi

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

vanok · 01. 09. 2018 17:14 — Editoval vanok (01. 09. 2018 17:14)

Cau ↑ slender:,
Tvoja prva myslienka je dobra i ked si nepouzil explicitne tvoj matricovy system.
Ktory by si potom jednoducho mohol vyjadrit ako lin. kombinaciu vdaka parametrom.
Prisiel by si k niecomu podobnemu ako nas kolega ↑ laszky: ( pozdravujem, ako vzdy).

No pozor tu bazu co si napisal, si nasiel nejaky suvis z naznacenim riesenim? Overil si dane pozmienky ulohy?

MichalAld · 01. 09. 2018 17:38

↑ slender:

Když už mluvíš o ortogonální bázi - jak je vlastně definovaný skalární součin pro matice ?

vanok · 01. 09. 2018 22:12 — Editoval vanok (02. 09. 2018 03:49)

Ahoj ↑ MichalAld:,
Tu sme v priestore co ma dimenziu 6.
Tak nie je vobec jasne o akej ortogonalite chcel kolega ↑ slender: hovorit ( navyse ako som mu naznacil tie jeho matice nesplnaju vobec podmienky daneho cvicenia).

Matematické Fórum

#1 31. 08. 2018 14:10

Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

#2 31. 08. 2018 14:41

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

#3 31. 08. 2018 18:40

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

#4 31. 08. 2018 21:28 — Editoval vanok (31. 08. 2018 21:31)

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

#5 01. 09. 2018 12:51

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

#6 01. 09. 2018 13:05 — Editoval MichalAld (01. 09. 2018 13:07)

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

slender napsal(a):

#7 01. 09. 2018 13:11

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

slender napsal(a):

#8 01. 09. 2018 14:08

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

#9 01. 09. 2018 15:15

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

#10 01. 09. 2018 15:53 — Editoval slender (01. 09. 2018 15:56)

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

#11 01. 09. 2018 16:34

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

#12 01. 09. 2018 17:14 — Editoval vanok (01. 09. 2018 17:14)

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

#13 01. 09. 2018 17:38

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

#14 01. 09. 2018 22:12 — Editoval vanok (02. 09. 2018 03:49)

Re: Vektorový prostor singulárních matic ℝ³ se společným vlastním vektorem

Zápatí