Matematické Fórum

vanok · 31. 08. 2018 19:02 — Editoval vanok (07. 10. 2018 16:43)

Ahoj ↑↑ MichalAld:,
Ano pouzil si ( jednu) dobru metodu.
Ak trochu popozorujes a zovseobecnis tvoje predosle uvahy, lahko prides na to, ze v pripade n=p prvocislo, $(\Bbb Z_n, +_n,._n)$ okruh je komutativne teleso ( niektori to volaju pole).

Teraz slubeny dokaz.
Bézout nam da tieto ekvuvalencie:
s a n su nesudelitelne,
$\exists a,b \in \Bbb Z, as+bn =1$
$\exists a \in \Bbb Z , \bar a \bar s=\bar 1$ v telese $\Bbb Z_n$
$\bar s \in (\Bbb Z_n)^*$
A tiez aj z $\bar s$ je generator grupy $(\Bbb Z_n, +_n)$ ,
( lebo $\bar a \bar s=a \bar s=\bar 1$ , co znamena, $\bar 1 \in < \bar s >$ )

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Poznamka. Poznas pojem Eulerovej funkcie https://en.m.wikipedia.org/wiki/Euler%2 … t_function . A pojem automorfismu? (Ak treba napisem to co bude treba vediet)

Edit. V #50 si napisal

N=2: a.b = 1 nebo 3 - žádný z prvků není inverzibilní

No vsak 1 je pochopitelne inverzibilni.

MichalAld

Asi jsem to nakonec i pochopil...pro jistotu to zkusím popsat slovy, jestli je to správně.
(nejsem úplně zvyklý na ty matematické zápisy, my jsme to nikdy moc nepoužívali)

vanok napsal(a):
Bézout nam da tieto ekvuvalencie:
s a n su nesudelitelne,
$\exists a,b \in \Bbb Z, as+bn =1$

Tohle je jasné - Bézoutova rovnost tvrdí, že nejvyšší společný dělitel lze vyjádřit jako...a u nesoudělných čísle je to jednička.

No a můžeme to napsat i takto:
$\exists a,b \in \Bbb Z, as =1 - bn$
případně
$\exists a,b \in \Bbb Z, as =1 + bn$
Což je vlastně evivalent toho "modulo - násobení" (já nevím, jak se to má správně nazývat)

vanok napsal(a):
$\exists a \in \Bbb Z , \bar a \bar s=\bar 1$ v telese $\Bbb Z_n$

Takže tohle je vlastně ekvivalent toho předchozího, co jsem napsal.
Z těch čárek nad čísly jsem zatím trochu zmatený, to je pro mě úplně nové - takže jestli tomu rozumím správně,
tak každé to číslo s čárkou je vlastně celá množina - třeba pro jedničku je to množina všech celých čísel typu $1+kN$ (nevím, jak to zapsat tím matematickým způsobem), a že vlastně to sčítání a násobení se (nějak) provádí s celými těmito množinami. Je to tak správně ?

vanok napsal(a):
$\bar s \in (\Bbb Z_n)^*$

Tohle je jasné, dokázali jsme, že k $\overline{s}$ existuje $\overline{a}$ takové, že $\bar a \bar s = \bar 1$ ,
což znamená, že $\bar s$ je inverzibilní.

vanok napsal(a):
A tiez aj z $\bar s$ je generator grupy $(\Bbb Z_n, +_n)$ ,
( lebo $\bar a \bar s=a \bar s=\bar 1$ , co znamena, $\bar 1 \in < \bar s >$ )
Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!
Skrytý text:
a tiez $\bar a \bar s=a \bar s=\bar 1$ znamena $\bar s +...+ \bar s= \bar 1$ (kde $\bar s$ opakovane v scitani $a$ krat . A tiez som pouzil oznacenie $\bar 1 \in < \bar s >$ pre mnozinu generatorov $\bar s$ )

Tohle chápu tak, že sečtením vhodného počtu $\bar s$ dostaneme $\bar 1$ , a když už máme $\bar 1$ , který je generátorem grupy, protože každé číslo lze dostat sečtením vhodného počtu jedniček, můžeme za každou jedničku dosadit ten součet $\bar s + \bar s + .... + \bar s$ , takže každé číslo lze získat jako součet vhodného počtu těch $\bar s$ , takže $\bar s$ je generátorem grupy.

vanok napsal(a):
co znamena, $\bar 1 \in < \bar s >$

Tohle moc nechápu, co vlastně znamená...

vanok napsal(a):
Poznamka. Poznas pojem Eulerovej funkcie https://en.m.wikipedia.org/wiki/Euler%2 … t_function . A pojem automorfismu? (Ak treba napisem to co bude treba vediet)

Hele, ani o jednom jsem v životě neslyšel.

Článek o Eulerově totient funkci jsem z části přečetl a přijde mi to celkem jasné (že funkce čísla N udává počet čísel, která nemají s N společného dělitele). Na automorfismus jsem zatím nekoukal.

vanok · 01. 09. 2018 14:45 — Editoval vanok (01. 09. 2018 14:48)

Ahoj ↑ MichalAld:,
Vela toho si absorboval.... a rychlo ak je to pre teba nove 👍.
Toho $\bar 1 \in < \bar s >$ znamena, ze vdaka $\bar s$ sa da napisat ako sucet tohto typu $\bar s + \bar s + .... + \bar s$ ( co znamena, ze $\bar s$ je generator ktory nam da $\bar 1$ ...a tak aj vsetko ine.)

Co sa tyka automorfismov. Tak ti pripomeniem, ze ide v pripade grup o isomorfismy z jednej grupy do tej istej grupy.
To je tiez uzitocne ( v matematike) na prehlbenia o grupach.

A este pripomeniem na priklade ako mozes chapat tu pracu z prvkami co maju tu hornu ciarku.
Popisem situaciu z $\Bbb Z_5$ .
Vdaka ekvivalentosti modulo 5, sme podla zvysok delinim cisla rozdelili $\Bbb Z$ na 5 tried ekvivalentnosti. Ktore som oznacil $\bar 0, \bar 1,..., \bar 4$
A operacia scitania v v groupe $\Bbb Z_5, +_n$ Je operacia na tychto triedach. ( A aj pre nasobenie v telese).
Tiez, ak bude treba pripomeniem faktorovu konstruciu podobnych struktur. (=«structures quotients »)

Buduce pokracovanie, co tu pridam, bude o klasifikovani $\Bbb Z_n$ aj dokazmi. A to bude trochu viac zaujimave.

vanok · 02. 09. 2018 00:28 — Editoval vanok (02. 09. 2018 09:51)

Ahoj ↑ vanok:,
Vidim, ze teraz poznas definiciu Eulerovej funkcie. Oznacime ju $\phi$ a tak $\phi (n)$ je pocet celych cisiel $x$ takych , ze $1 \leq x \leq n$ ktore su nesudelitelne z $n$ .

Je ti iste jasne, ze ak $p$ je prvocislo tak $\phi (p)=p-1$ a pre nenulove prirodzene cislo $\alpha$ mame $\phi (p^ {\alpha }) = p^ { \alpha -1} (p-1)$ .

Vdaka Vete 1 ↑↑ vanok:, mame $\phi (n) = | \Bbb Z_n^*|$ kde $| \Bbb Z_n^*|$ je pocet prvkov tejto grupy.

A teraz dokazme Vetu 2
Mame isomorfismus $Aut \Bbb Z_n \cong \Bbb Z_n^*$

Na pokracovanie.

vanok · 02. 09. 2018 11:22

Pozdravujem ↑ MichalAld:,

Pridam ti tu este slovnik o morpfismoch:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Endomorphism
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Morphism
ktory sa dnes ( vdaka teorii kategorii ) bezne pouziva.
Poznamenam, ze pojem zobrazenia, sa mi nezda dobry preklad, lebo na webe som videl rozne definicie toho pojmu ( aj v cz a v sk).

Pockam trochu z pokracovanim, kym mi nenapises, ze sa citis na to pokracovanie pripraveny.

MichalAld · 02. 09. 2018 11:38

Jo jo, chvíli počkej s novými věcmi, já se mezitím podívám na ty odkazy a na to co už je napsané.
Dneska jsem musel do práce, takže špekulování nad grupami bude muset chvíli počkat....

Ještě se chci zeptat na jednu věc, - dokázal jsme, že když je "s" nesoudělné s "n" tak je "s" inverzibilní .... ale dokázali jsme i opak ? Tj, že když soudělná jsou, tak "s" není inverzibilní ?

vanok · 02. 09. 2018 12:36

Cau ↑ MichalAld:,
Vsak vtedy ide o delitele nuly .... ze ti to staci.

MichalAld · 02. 09. 2018 14:26

↑ vanok:

No, nejsem si úplně jistý - ale řekl bych, že pokud číslo k je dělitelem čísla M, nemůže být dělitelem čísla M + 1, může být jen dělitelem M + j*k,

$\underbrace{(k + k + k + .... + k)}_{i} = M$

tak

$\underbrace{(k + k + k + .... + k)}_{i} + \underbrace{(k + ... + k)}_{j} \not = M + 1$

protože

$\underbrace{(k + ... + k)}_{j} \not = 1$

takže pokud je k dělitelem $\bar 0$ , nemůže být dělitelem $\bar 1$
ale nevím, jestli je to úplně korektní úvaha.

vanok · 02. 09. 2018 16:14 — Editoval vanok (02. 09. 2018 18:09)

Ahoj ↑ MichalAld:,
To co dokazujes musis dat do kontextu.
$\bar 0$ je vyjadrene len pre jedine urcite n. ( mozme aj napisat, ze $\bar 0 = \bar n$ ). Napr n=12.
Podrobnejsie si pozri https://en.m.wikipedia.org/wiki/Zero_divisor
A strucne tiez https://cs.m.wikipedia.org/wiki/Dělitel_nuly

Poznamka. Aj aritmetika je zaujimava na studium, no pokial budeme hovorit o grupach, tak potrebne aritmeticke vety prijmem bez dokazu. ( Lebo to by sme potom museli urobit nekonecne vlakno ... i ked v inom vlakne neskor mozeme o tom hovorit)

MichalAld

vanok napsal(a):
, no pokial budeme hovorit o grupach, tak potrebne aritmeticke vety prijmem bez dokazu...

Jo, to není problém, jen jsem chtěl vědět, jestli to nějak plyne z toho, co už jsi napsal, nebo je v tom něco víc..

Tohle asi chápu, ale sám bych na to asi nepřišel.
Zero divisors can never be units, because if $a$ is invertible and $ax = 0$ , then $0=a^{-1}0=a^{-1}ax= x$ , whereas $x$ must be nonzero.

Pro mě je to všechno nové, já se s tímhle nikdy nesetkal, tak nemůžeš čekat zázraky...

vanok · 02. 09. 2018 18:04 — Editoval vanok (02. 09. 2018 18:13)

Ahoj ↑ MichalAld:.
Ano teraz si napisal dobry dokaz.
Ten je dokonca vseobecnejsi lebo plati v kazdej grupe.
Je to zovseobecnenie toho co si uz vedel pre realne cisla a riesenie rovnic. ( je to aj priklad dokazu sporom).

Tu mozes vyriesit problem aj priamo. Uvazujes dve moznosti pre $\Bbb Z_n$ : 1) n je prvocislo
2) n nie je prvocislo.

Este ti pridam klucovu myslienku dokazu tohto vyroku ( kde som asi naivne predpokladal, ze to kazdy hned vidi)
$\phi (p^ {\alpha }) = p^ { \alpha -1} (p-1)$

Napisme vsetki nasobky prvocisla p.
To su $1p, 2p, 3p, ..., (p^{\alpha -1})p$
Do kopy je ich kolko ?
Cize ...

Ak nieco potrebujes objasnit napis.
( aj na VS su ludia co na to potrebuju rok, dva a viac.... a ju tu idem bleskovou metodou... no som isty, ze to pochopis)

MichalAld

Já už to asi nějak chápu.

Když je $p$ prvočíslo, tak celkový počet číslel je prostě to $p$ , ale nesoudělných čísel je o jedno méně, (samo $p$ už tam nepatří).

Když vezmeme $p^{\alpha}$ , tak celkový počet čísel je $p^{\alpha}$ ,

a soudělných, tak jak jsi napsal,

$1p, 2p, 3p, ..., (p^{\alpha -1})p$ , kterých je tedy zřejmě $p^{\alpha - 1}$ , (zahrnuje to i to poslední, $p^{\alpha}$ )

což nám tedy dává

$p^{\alpha}-p^{\alpha-1} = p^{\alpha - 1}(p-1)$

MichalAld · 02. 09. 2018 22:08

A morphismy už jsem si taky přečetl, tomu (zatím!) nějak rozumím.

vanok · 02. 09. 2018 22:12

Ahoj ↑ MichalAld:,
To je potom pekny pocit. Ze.
To je treba sa v tom pocvicit. No to urobime neskor. Treba si aj vediet odpocinut. 👍

vanok · 02. 09. 2018 23:29 — Editoval vanok (03. 09. 2018 03:30)

Cau ↑ MichalAld:,
Poznamka: ked tu http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=95907 nahradis slovo funkcia slovom morfismus dostanes co ti moze byt uzitocne ( a nam tu postaci).
( som preto opartrny, lebo niektori foristi ktory nemaju dostatocne znalosti na tuto temu a skor aby overili a opravili v serioznych zdrojoch ich omyly sa na mne vyzurili. Vraj som k...t. Hmmmm)

vanok · 03. 09. 2018 11:04

Ahoj ↑ vanok:,
Zaciatok slubeneho dokazu.
Nech $f \in Aut \Bbb Z_n$ ,tak $f(1)$ je generator grupy $(\Bbb Z_n, +)$ a preto $f(1) \in \Bbb Z_n^*$ .
A este over, ze $\sigma : f \mapsto f(1)$ je morfismus. ( mozeme pouzit aj slovo homomorfismus).

Na pokracovanie ( kde dokazem druhu cast dokazu a najdem reciprocny morfismus)

MichalAld · 03. 09. 2018 12:25

Něco asi chápu špatně, protože když vezmu nějakou jednoduchou funkci, jako třeba (pro grupu modulo 5) f(i) = i+4,
tak dostanu f(1) = 0, a nula generátorem není.

V čem je chyba ?

A tohle vlastně nevím, co znamená, nemůžeš to nějak popsat slovy ?
$\sigma : f \mapsto f(1)$

vanok · 03. 09. 2018 12:41 — Editoval vanok (03. 09. 2018 15:21)

Ahoj ↑ MichalAld:,
$f \in Aut \Bbb Z_n$
f je automorfismus grupy $(\Bbb Z_n, +)$
Pouzil som pochopitelne Vetu 1.

Tvoje f co pouzivas tu ↑ MichalAld: , nie je morfismus. Vsak pre morfismus f musi platit f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0), co da f(0)=0. ( tu su to rovnosti v $(\Bbb Z_n, +)$ ). Vidis?

MichalAld · 03. 09. 2018 21:14

vanok napsal(a):
Nech $f \in Aut \Bbb Z_n$ ,tak $f(1)$ je generator grupy $(\Bbb Z_n, +)$ a preto $f(1) \in \Bbb Z_n^*$ .

Tak já to zkusím.

Pokud tedy máme nějaké číslo
$a=\underbrace{1+1+...+1}_{a}$

tak potom
$f(a)=f(\underbrace{1+1+...+1}_{a}) = \underbrace{f(1)+(1)+...+f(1)}_{a}$

To ale asi samo nestačí, ještě je asi potřeba doplnit, že čísla f(a) jsou všechna, co ta grupa obsahuje, jinak by nemohl existovat inverzní morfismus (takže by to nebyl automorfismus). Ale nevím, jestli se to dá takto jednoduše říct, nebo se to musí taky nějak dokázat.

MichalAld · 03. 09. 2018 21:17

MichalAld napsal(a):
$\sigma : f \mapsto f(1)$

A co znamená teda tady tohle? Co znamená ta šipka ? (a to ostatní) ?
Já téhle symbolice moc nerozumím...

vanok · 03. 09. 2018 23:10 — Editoval vanok (03. 09. 2018 23:13)

To znamena ze obraz f je f(1). ( Cize $\sigma ( f)= f(1)$ ).
A to f(1) je genertor groupy $(\Bbb Z_n, +)$ a to som ukazal vo vete 1, ze to je jeden inverzibilny prvok zo $\Bbb Z_n$
A inac povedane, zatial som dokazal ak mam jeden automorfismus tak som mu priradil jeden inverzibilny prvok groupy.
( tie pokusy z rovnostami co robis to neviem na co to chces pouzit?)

Tu druhu cast dokazu pridam az zajtra ... Dobre?)

MichalAld · 03. 09. 2018 23:27

No a jak se to teda dokáže, tohle ?

vanok napsal(a):
Nech $f \in Aut \Bbb Z_n$ ,tak $f(1)$ je generator grupy $(\Bbb Z_n, +)$ .

vanok · 04. 09. 2018 00:26

Vsak som ti napisal, ze to je vdaka vete 1 ↑↑ vanok:, ktora je v #47 a tu som potom dokazal.

Staci?

vanok · 04. 09. 2018 09:47 — Editoval vanok (04. 09. 2018 17:48)

Teraz uvazujme morfismus $\tau$ definovany na $\Bbb Z_n^*$ tak ze $\tau (s) x=sx$ .
Vidim, ze $\tau(x)$ je endomorfismus grupy $(\Bbb Z_n, +)$ lebo $s(x+y)=sx+sy$ .
Je to automofismus lebo $sx=0$ implikuje, ze $x=0$ ( lebo s je inverzibilne).

A lahko vidime, ze $\sigma$ a $\tau$ su reciprocne morfismy.

Co sa tyka pokracovania:
Teraz ti planujem ukazat ako mozme upresnit strukturu $\Bbb Z_n^*$ podla prvociselneho rozkladu cisla $n$ .

vanok · 05. 09. 2018 19:21 — Editoval vanok (17. 09. 2018 15:43)

Ahoj,
Ako som napisal tu ↑ vanok:,
tak teraz tu dam Vetu 3
A) Nech p je prvocislo, potom $\Bbb Z_p^* \cong \Bbb Z_{(p-1)}$
B) $( \Bbb Z_{p^{\alpha}})^* \cong \Bbb Z_{\phi(p^{\alpha})}$ , kde $\alpha \ge 2$ a $\alpha$ je cele cislo a tiez nech prvocislo $p \ge 3$ .
C) $\Bbb Z_2^*= \{1\}$ .
D) $\Bbb Z_4^* \cong \Bbb Z_2$ .
E)Pre cele $\alpha \ge 3$ plati $\Bbb Z_{2^{\alpha }}^*\cong \Bbb Z_2^* \times \Bbb Z_{2^{\alpha-2 }}^*$ .

Necham ti dost vela casu pred tym ako tu dam jej dokaz.
Poznamka, poslednu vetu mozme vyjadrit aj pre $Aut \Bbb Z_n$ .

Matematické Fórum

#51 31. 08. 2018 19:02 — Editoval vanok (07. 10. 2018 16:43)

Re: Realne matice

#52 01. 09. 2018 09:24 — Editoval MichalAld (01. 09. 2018 09:29)

Re: Realne matice

vanok napsal(a):

vanok napsal(a):

vanok napsal(a):

vanok napsal(a):

vanok napsal(a):

vanok napsal(a):

#53 01. 09. 2018 14:45 — Editoval vanok (01. 09. 2018 14:48)

Re: Realne matice

#54 02. 09. 2018 00:28 — Editoval vanok (02. 09. 2018 09:51)

Re: Realne matice

#55 02. 09. 2018 11:22

Re: Realne matice

#56 02. 09. 2018 11:38

Re: Realne matice

#57 02. 09. 2018 12:36

Re: Realne matice

#58 02. 09. 2018 14:26

Re: Realne matice

#59 02. 09. 2018 16:14 — Editoval vanok (02. 09. 2018 18:09)

Re: Realne matice

#60 02. 09. 2018 16:49 — Editoval MichalAld (02. 09. 2018 16:51)

Re: Realne matice

vanok napsal(a):

#61 02. 09. 2018 18:04 — Editoval vanok (02. 09. 2018 18:13)

Re: Realne matice

#62 02. 09. 2018 21:56 — Editoval MichalAld (02. 09. 2018 21:56)

Re: Realne matice

#63 02. 09. 2018 22:08

Re: Realne matice

#64 02. 09. 2018 22:12

Re: Realne matice

#65 02. 09. 2018 23:29 — Editoval vanok (03. 09. 2018 03:30)

Re: Realne matice

#66 03. 09. 2018 11:04

Re: Realne matice

#67 03. 09. 2018 12:25

Re: Realne matice

#68 03. 09. 2018 12:41 — Editoval vanok (03. 09. 2018 15:21)

Re: Realne matice

#69 03. 09. 2018 21:14

Re: Realne matice

vanok napsal(a):

#70 03. 09. 2018 21:17

Re: Realne matice

MichalAld napsal(a):

#71 03. 09. 2018 23:10 — Editoval vanok (03. 09. 2018 23:13)

Re: Realne matice

#72 03. 09. 2018 23:27

Re: Realne matice

vanok napsal(a):

#73 04. 09. 2018 00:26

Re: Realne matice

#74 04. 09. 2018 09:47 — Editoval vanok (04. 09. 2018 17:48)

Re: Realne matice

#75 05. 09. 2018 19:21 — Editoval vanok (17. 09. 2018 15:43)

Re: Realne matice

Zápatí