Matematické Fórum

xonyxo

Zdravím, mám problém s jistými příklady, u kterých nevím čeho se chytnout a jak při nich postupovat, proto bych byl rád, kdyby mi někdo pomohl.

1.) Určete všechna reálná řešení rovnice $x^3-4x^2+x+6=0$ víte-li, že číslo 2 je kořenem polynomu na levé straně.
Výsledky jsou: -1; 2; 3

2). Rozložte polynom na součin kořenových činitelů $P(x) = 2x^{4}-2$ .
Přičemž výsledek je následující: $P(x)=2(x-1)(x+1)(x^{2}+1)$

A ještě funkce:
3). Buď f(x) funkce ostře rostoucí na svém definičním oboru s oborem hodnot Hf=R. Rozhodněte, které tvrzení o funkci f(x) je pravdivé.
a)Funkce f(x) protíná právě jednou osu x.
b)Funkce f(x) protíná právě jednou osu y.
c)Definiční obor funkce f(x) je Df=R.
d)Funkce neprotíná osu y.

U Funkcí nevím jak mohu zjistit, zda (a kolikrát) protíná kterou osu. Děkuju za pomoc.

xonyxo · 11. 09. 2018 19:51 — Editoval xonyxo (11. 09. 2018 19:51)

Omlouvám se za rozhozené zápisy. U 1) je to:
x^3−4x^2+x+6=0
U 2) je to:
P(x)=2(x−1)(x+1)(x^{2}+1

vlado_bb · 11. 09. 2018 20:27

↑ xonyxo: Si novy ucastnik fora, takze vitaj a precitaj si pravidla. Zvlast si prosim vsimni, ze v jednej teme ma byt jedna uloha a ze k nej patri aj tvoj pokus o riesenie a podrobnejsi popis, s cim mas vlastne problem. ("Neviem ulohu vyriesit" nie je takyto popis.)

MichalAld · 11. 09. 2018 21:54

↑ xonyxo:
Poznámka moderátora:
Opravil jsem ti ty texové výrazy - on je nějaký problém, když se sem nakopíruje symbol "-" odjinud, že jej to nepozná, je to nějaké špatné "-", stačí ho smazat a znovu napsat a je to vše OK.

Co se týče řešení příkladu 1), umíš dělit polynomy?

Pokud totiž víš, že nějaký polynom má kořen k, můžeš jej napsat ve tvaru (x-k)(polynom o stupeň nižší).
Jinými slovy, můžeš ten původní polynom podělit tím (x-k) a dostaneš polynom o stupeň nižší - v tomto případě 2. řádu, a jeho kořeny už se hledají snadno.

Na příkld 2) žádný návod není, to prostě musíš vidět...je to o využití vztahu
$x^2-a^2 = (x+a)(x-a)$

Příklad 3) - když si nakreslíš nějakou funkci, která je "ostře rostoucí" - což znamená, že pořád roste, a to (v oboru hodnot) od minus nekonečna až do plus nekonečna, zjistíš velice rychle, jak může taková funkce vypadat.

Jen je (podle mě) třeba mít na paměti, že hledáš PRAVDIVÁ tvrzení, ta ostatní nemusí být nutně nepravdivá, mohou být také tzv. nerozhodnutelná - tj. že vhodnou volbou funkce může, ale také nemusí platit.

xonyxo · 12. 09. 2018 11:06

Ještě bych potřeboval poradit, opět mám polynom P(x) a určit všechny jeho reálná řešení, když je kořen -1.
Zadání je: $x^{4}+6x^{3} + 9x^{2}+4x$
Ten polynom jsem tedy vydělil (x+1) a výsledek mi vyšel: $x^{3}+5x^{2} + 4x$
Ale nevím jak bych se měl dobrat k těm řešením, hádám, že musím nějak dojít ke kvadratické rovnici, ale tady je ten kubický člen, s kterým si nevím rady.

Rumburak · 12. 09. 2018 11:18

↑ xonyxo:

Ahoj .

U polynomu $x^{4}+6x^{3} + 9x^{2}+4x$ a rovněž u polynomu $x^{3}+5x^{2} + 4x$ známe ještě
jeden kořen, a sice $x = 0$ .

xonyxo · 12. 09. 2018 11:31

↑ Rumburak:
můžu se zeptat, jak jste na to přišel?

Rumburak · 12. 09. 2018 11:55

↑ xonyxo:
Je tomu tak proto, že absolutní člen polynomu je nenulovým násobkem součinu všech jeho kořenů,
což není těžké zjistit z rozkladu polynomu na kořenové činitele, např.

$ax^2 - 9ax + 18a = a(x-3)(x-6)$ , takže $18a = a\cdot 3 \cdot 6$ .

MichalAld

xonyxo napsal(a):
↑ Rumburak:
můžu se zeptat, jak jste na to přišel?

Když máš nějaký polynom, který neobsahuje ten "konstantní člen", jako třeba

$x^{4}+6x^{3} + 9x^{2}+4x$

můžeš vytknout to x, takže

$x^{4}+6x^{3} + 9x^{2}+4x = x(x^{3}+6x^{2} + 9x^{1}+4)$

a z toho už je snad zřejmé, že jeden z kořenů je 0 (že pro x=0 bude výsledek 0).

To je natolik základní věc, že stojí za to si to rovnou zapamatovat.
Může se stát, že se podaří vytknout i více než x, třeba $x^2, x^3$ atd

Matematické Fórum

#1 11. 09. 2018 19:47 — Editoval MichalAld (11. 09. 2018 21:43)

Polynomy, funkce

#2 11. 09. 2018 19:51 — Editoval xonyxo (11. 09. 2018 19:51)

Re: Polynomy, funkce

#3 11. 09. 2018 20:27

Re: Polynomy, funkce

#4 11. 09. 2018 21:54

Re: Polynomy, funkce

#5 12. 09. 2018 11:06

Re: Polynomy, funkce

#6 12. 09. 2018 11:18

Re: Polynomy, funkce

#7 12. 09. 2018 11:31

Re: Polynomy, funkce

#8 12. 09. 2018 11:55

Re: Polynomy, funkce

#9 12. 09. 2018 16:17 — Editoval MichalAld (12. 09. 2018 16:19)

Re: Polynomy, funkce

xonyxo napsal(a):

Zápatí