Matematické Fórum

Pomeranc · 11. 09. 2018 22:32

Ahoj,

mohli byste mi prosím někdo říct, jak se počítá část b) v tomto příkladu?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-09/97895_Zadani.PNG

laszky · 11. 09. 2018 22:40

↑ Pomeranc:

Ahoj, tady mas navod: totalni diferencial

Pomeranc · 12. 09. 2018 10:26

↑ laszky:

Nevidím tu souvislost s tím, co potřebuji vyřešit.

Rumburak

↑ Pomeranc:

Ahoj.

Ta souvislost je následující:

Derivace (obecně vektorové) funkce více proměnných v daném bodě, není-li určeno ve kterém směru,
je totéž co její totální diferenciál v onom bodě.

Brano · 12. 09. 2018 12:39

priklad je usity tak, any bolo vyhodne pouzit vetu o skladani diferencialov

skusim napisat postup tak aby som vynechal detaily - uvazujeme diferencial v bode $q=(x,y,z)$

$d(G\circ F)_q=dG_{F(q)}\circ dF_q$

mame $q=(0,0,0)$ a potrebujeme $F(q)$ ... po troche pocitania $F(q)=(0,1)$

Teraz potrebujeme $dG=G'_a da + G'_b db$
objekt $G'_a$ je dvojica $((G_1)'_a,(G_2)'_a)$ treba dopocitat a kedze chceme
nakoniec $dG_{F(q)}$ tak aj dosadit $(a,b)=(0,1)$

podobne pre $G'_b$ . Dostaneme potom (uz nebudem pisat explicitne bod do indexu)
$dG=(0,3)da+(2e,3)db$ co sa da vhodnejsie zapisat ak vektory budu stlpce t.j.
$dG=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}da+\begin{pmatrix}2e\\3\end{pmatrix}db = \begin{pmatrix}0&2e\\3&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}da\\db\end{pmatrix}$

rovnaku saradu urobime s $F$ pricom bod co dosadzame je $(x,y,z)=(0,0,0)$
a dostaneme
$dF=\begin{pmatrix}(F_1)'_x & (F_1)'_y & (F_1)'_z \\ (F_2)'_x & (F_2)'_y & (F_2)'_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}$ (ak som sa nepomylil :)

teda $dG\circ dF = \begin{pmatrix}0&2e\\3&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\2&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4e&0&0\\9&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4e\\9\end{pmatrix}dx$

Pomeranc · 12. 09. 2018 14:10

↑ Rumburak: ,↑ Brano:

vím, že totální diferenciál je derivace a část a z příkladu si dokážu taky spočítat.
Řekněme, že ta matice A v části b je rovna matici, která nám vyjde z části a,
jak se tedy spočítá b v rovnici $L(x)=Ax+b$ ?

Brano · 14. 09. 2018 11:34

↑ Pomeranc:
Ak by $b\not=0$ tak by sa nejednalo o linearne zobrazenie, ale afinne zobrazenie; lenze diferencial je linearny, teda $b=0$ a maticu $A$ som ti napisal
$\begin{pmatrix}4e&0&0\\9&0&0\end{pmatrix}$