Matematické Fórum

eliizka · 23. 05. 2009 12:42

Úloha k maturitě:
Vypočítejte obsah rovnoběžníku, jehož uhlopříčky mají délky 16cm a 11cm a jejichž odchylka je 60°.

Marian · 23. 05. 2009 13:26 — Editoval Marian (23. 05. 2009 14:43)

↑ eliizka:
Označím vrcholy rovnoběžníka postupně A, B, C a D (začínám vlevo dole). Místo, kde se protínají úhlopříčky označím E. Je známo, že úhlopříčky se v rovnoběžníku vzájemně půlí. Tedy máme
|AE|=|CE|=16/2 cm = 8cm
|BE|=|DE|=11/2 cm= 5.5 cm.

Spoj trojúhelníky AED a BCE (jsou zcela identické) do nového rovnoběžníku tak, že trojúhelník BCE posuneš doleva o délku úsečky AB (zjednodušeně: bod C se ocitne v bodě D a bod B se ocitne v bodě A). Pro strany takového nového rovnoběžníku ale platí |AE|=8cm a |DE|=5.5 cm. Odchylka stran je rovna 60°. Proto se obsah dílčího rovnoběžníku spočte podle známého vzorce
$S_1=|AE|\cdot |DE|\cdot\sin 60^{\circ}.$
Podobně ze dvou zbývajících trojúhelníku CDE a ABE původního rovnoběžníku zkonstruuješ nový dílčí rovnoběžník. Délky stran se nebudou měnit, tj. 8 cm a 5.5 cm, pouze úhel bude jiný, totiž 180°-60°=120°. Proto
$S_2=|AE|\cdot |BE|\cdot\sin 120^{\circ}.$
Jejich sečtením máme

gadgetka · 23. 05. 2009 14:36

nebo z kosinové věty:

$|AB|^2=a^2=8^2+(5,5)^2-2\cdot 8\cdot 5,5\cdot \cos 120^{\circ}\nl|BC|^2=b^2=8^2+(5,5)^2-2\cdot 8\cdot 5,5\cdot \cos 60^{\circ}\nlS=a\cdot b$

$a^2=64+30,25-88\cdot (-0,5)=138,25=>a=11,76(cm)\nlb=64+30,25-88\cdot 0,5=50,25=>b=7,09(cm)\nlS=11,76\cdot 7,09=83,38(cm^2)$

gadgetka

Mariane? Kolik je 11:2? :-))

Marian · 23. 05. 2009 14:43

↑ gadgetka:
Už je to opraveno ...

Díky
:-)))

gadgetka · 23. 05. 2009 14:57

Jj, :)), otázku za mě psal synátor, já zrovna kojila ...

Paliking · 24. 05. 2009 00:16

Ahoj, nevypocitam nahodou obsah rovnobežníka (kosodlznika) a*v?
Ty si gadgetka pouzila a*b.......................marianovi to vyslo dobre okolo 76,21

Marian · 24. 05. 2009 21:18

↑ gadgetka:↑ Paliking:
Souhlasím, formule pro výpočet nesouhlasí, tedy neplatí pro obecný rovnoběžník vztah S=a*b. Chybí pronásobení součinu a*b výrazem sin(alfa), popř. se dá použít zmiňované S=a*v.

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2009 12:42

Úloha - rovnoběžník, uhlopříčky, odchylka

#2 23. 05. 2009 13:26 — Editoval Marian (23. 05. 2009 14:43)

Re: Úloha - rovnoběžník, uhlopříčky, odchylka

#3 23. 05. 2009 14:36

Re: Úloha - rovnoběžník, uhlopříčky, odchylka

#4 23. 05. 2009 14:40 — Editoval gadgetka (23. 05. 2009 14:55)

Re: Úloha - rovnoběžník, uhlopříčky, odchylka

#5 23. 05. 2009 14:43

Re: Úloha - rovnoběžník, uhlopříčky, odchylka

#6 23. 05. 2009 14:57

Re: Úloha - rovnoběžník, uhlopříčky, odchylka

#7 24. 05. 2009 00:16

Re: Úloha - rovnoběžník, uhlopříčky, odchylka

#8 24. 05. 2009 21:18

Re: Úloha - rovnoběžník, uhlopříčky, odchylka

Zápatí