Matematické Fórum

Just_me · 02. 10. 2018 23:40

Dobrý večer,
už nějakou dobu se marně snažím najít chybu v příkladě, jehož zadání zní:
Komplexní číslo $z_{3}$ má poloviční argument než dané číslo z a je komplexní jednotkou. Řešte výpočtem i graficky.
z = 6 - 2i

Takže jsem si z převedla na goniometrický tvar.
z = $2 \cdot \sqrt{10} (cos \frac{3}{\sqrt{10}} + i \cdot sin - \frac{1}{\sqrt{10}})$

A vypočítala:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-10/15924_42938039_706348609735113_7728892227241377792_n.jpg

Jenže ve výsledcích je u reálné složky komplexního čísla hodnota $- \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{3}{20} \sqrt{10}}$ a já pořád nemůžu přijít na to, kde se tam vzalo to - před odmocninou.
A také nevím rady s grafickým řešením. To se dělá jak?

Jj · 03. 10. 2018 03:46 — Editoval Jj (03. 10. 2018 07:48)

↑ Just_me:

Zdravím. Platí:

$\left|\cos \frac{x}2\right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}2}, \quad \left|\sin \frac{x}2\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}2}$

a znaménko funkce polovičního úhlu je třeba určit podle jeho velikosti:

Komplexní číslo 6 - 3i leží ve 4. kvadrantu Gaussovy roviny. Číslo s polovičním argumentem bude proto ležet v jejím druhém kvadrantu. Takže kosinus polovičního argumentu bude záporný, sinus kladný.

Podstatou geometrického řešení zřejmě bude konstrukce argumentu hledaného čísla rozpůlením argumentu čísla 6 - 2i v Gaussově rovině.

Poznámka - pozor na zápis čísla 6 - 2i v goniometrickém tvaru, není správný:

$\cos \varphi = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \sin \varphi = - \frac{1}{\sqrt{10}}\quad\Rightarrow\quad\varphi\doteq 5.961_{rad}=341.6°$ , pak

$6-2i=2\sqrt{10}(\cos 5.961+i\sin 5.961)=2\sqrt{10}(\cos 341.6°+i\sin 341.6°)$

Matematické Fórum

#1 02. 10. 2018 23:40

Počítání s komplexními čísly v goniometrickém tvaru (hledání chyby)

#2 03. 10. 2018 03:46 — Editoval Jj (03. 10. 2018 07:48)

Re: Počítání s komplexními čísly v goniometrickém tvaru (hledání chyby)

Zápatí