Matematické Fórum

Emminka · 07. 10. 2018 12:44

Dobrý den, nevím si rady s těmito příklady
Určete vrchol C trojúhelníku ABC. Jsou dány vrcholy A (1;2) a B (-1;0) a průsečík výšek trojuhelníku je označen jako V (1;-1).
Zde jsem si určila C (x,y)
Poté jsem vyjádřila směrový vektor BC jako (B - C) = (-1-x;-y) z toho jsem následně chtěla udělat normálový vektor a následně jsem je dosadila do obecné rovnice tak, že
y (x1) + (-1 - x) y1 + c = 0

Příčmž x1 a y1 byly souřadnice V
Ale vůbec mi to nevyšlo

A je dán bod A (2;4) a přímka p: x - 2y + 1 = 0. Určete na přímce p bod R tak, aby přímka AR a p měly ochylku 45 stupnu.
Tady vůbec nevím co...

Děkuji za jakoukoliv radu

Jj · 07. 10. 2018 13:13

↑ Emminka:

Zdravím. Zkusil bych:

- bodem A vést kolmici k přímce BV,
- bodem B vést kolmici k přímce AV.

Řekl bych, že tyto kolmice se protnou v bodě C.

Emminka · 07. 10. 2018 14:01

↑ Jj: Moc děkuji!
A jestli se můžu ptát, ten druhý příklad nevíte?

Jj · 07. 10. 2018 14:20

↑ Emminka:

Třeba

- obecný bod přímky = R[x, (1+x)/2]
- rovnice: cos( úhlu AR a přímky p ) = cos 45° ---> souřadnice x hledaných bodů na přímce (2 řešení) + dopočítat souřadnice y

Emminka · 07. 10. 2018 14:29

↑ Jj: Mohu se zeptat jak jste přišel na y bod R? Pro to je nějaké pravidlo?

A omlouvám, se, ale bohužel pořád nevím, jak bych měla určit ty směrové vektory, které bych měla dosazovat do rovnice odchylky :(

Jj · 07. 10. 2018 14:39

↑ Emminka:

Z rovnice přímky, na níž R leží.

- směrový vektor přímky p,
- vektor AR = (x - 2, (1+x)/2-4).

misaH · 07. 10. 2018 14:43

↑ Emminka:

bod R leží na priamke p: x - 2y + 1 = 0.

Jeho súradnice musia vyhovovať rovnici.

Ak súradnica x je x, tak stačí z rovnice vyjadriť y - to bude súradnica y bodu R.

misaH · 07. 10. 2018 14:53 — Editoval misaH (07. 10. 2018 14:56)

Smerové vektory napríklad:

1. vektor A-R

2. Priamka p má smerový vektor, ktorý je kolmý k jej normálovému vektoru. Súradnice normálového vektora priamky vidno v zápise všeobecnej rovnice priamky - sú to čísla pri x, y.

Kolmý vektor k nemu má súradnice, ktoré vzniknú tak, že prehodíš x a y, pričom v 1 prípade zmeníš znamienko.

(3, -2) daný vektor, k nemu kolmý napríklad (2; 3), lebo ich skalárny súčin má byť 0.

Dá sa postupovať aj natvrdo - na priamke p zvolíš 2 body a urobíš z nich vektor - to bude smerový vektor priamky p.

Emminka

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-10/17925_hh.jpg

↑ misaH: Chápu to správně?

Jj · 07. 10. 2018 15:28 — Editoval Jj (07. 10. 2018 15:31)

↑ Emminka:

Podle mě ano.

Jen bych řekl, že ve jmenovateli není správně umocněno (2-x)^2.

Emminka · 07. 10. 2018 16:09

↑ misaH:↑ Jj:

Dostala jsem se sem a dál nevím jak //forum.matweb.cz/upload3/img/2018-10/21368_43350143_2132869370264603_1052095270432538624_n.jpg

Jj · 07. 10. 2018 16:33

↑ Emminka:

Pokud jste zatím počítala dobře, tak umocnit obě strany rovnice. Tím se zbavíte jak absolutní hodnoty v čitateli, tak odmocniny ve jmenovateli.

Cheop · 07. 10. 2018 17:40 — Editoval Cheop (07. 10. 2018 17:55)

↑ Emminka:
Druhý příklad jde počítat i takto:
1) Otočit přímku p o +- 45 stupňů, která bude procházet bodem A
2) Průsečík přímky p s nalezenou přímkou bude hledaný bod R.
3) Úloha má 2 řešení
Mělo by Ti vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Emminka · 07. 10. 2018 17:58

↑ Cheop: Mohu se zeptat, jak se přímka otáčí?

Jj · 07. 10. 2018 20:32

Řekl bych, že bude rozumné to dopočítat rozpracovanou metodou.
Rámcově úpravy od stavu tady ↑ Emminka::

$\cdots$
$|-5x+15|=\sqrt{10}\sqrt{5x^2/4-15x/2+ 65/4}\quad \Big{|}^2$
$25x^2-150x+225=10(5x^2/4-15x/2+ 65/4)$
$\cdots$
$x^2-6x+5=0$
$(x-1)(x-5)=0$

$\Rightarrow \quad x_1=1,\quad x_2=5$ = x-ové souřadnice hledaných bodů, k nim z rovnice přímky dopočítat příslušné y-onové souřadnice.

misaH · 07. 10. 2018 20:35

↑ Jj:

No teda ... poklona.

:-)

Emminka · 08. 10. 2018 05:51

↑ Jj: Strašně moc děkuji za pomoc, přiznám se, že mě hloupou nenapadlo, to vynásobit tím cos 45, a pořád mi to vycházelo strašně divně, moc děkuji
Přeji krásný den

Cheop · 08. 10. 2018 08:14 — Editoval Cheop (08. 10. 2018 09:02)

↑ Emminka:
Přímka p otočená o +- 45 stupňů bude mít rovnici:
$y=kx+q$
Směrnice k přímky bude:
$k=\frac{k_1+k_2}{1-k_1\cdot k_2}$
nebo:
$k=\frac{k_1-k_2}{1+k_1\cdot k_2}$
přičemž
k_1 je směrnice přímky p:
$x-2y+1=0\\y=\frac x2+\frac 12\,\Rightarrow\\k_1=\frac 12$
směrnice k_2 bude
$\text{tg}\,45^\circ=1$ tj:
$k=\frac{\frac 12+1}{1-\frac 12\cdot 1}=3$ čili rovnice otočené přímky bude:
$y=3x+q$ - dosadíme souřadnice bodu A(2,4) a dopočteme q tj:
$4=3\cdot 2+q\\q=-2$
Rovnice přímky:
$y=3x-2$
Hledaný bod R_1 bude průsečíkem přímek
$x-2y+1=0\\y=3x-2$
Obdobně se najde směrnice k pro druhou přímku a následně její rovnice
a její průsečík R_2 s přímkou p