Matematické Fórum

veadet · 08. 10. 2018 14:06 — Editoval veadet (11. 10. 2018 17:23)

Dobrý deň, pomôžete mi prosím s dokazom vety:
Nech $(F,+,.)$ je pole. Dokážte, že:
$a) \forall a,b \in F: a+b=a \Rightarrow b=0$
$b) \forall a,b \in F: ab=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0$
$c) \forall a,b \in F: a\not=0 \wedge b\not=0 \Rightarrow ab\not=0$

Rozumiem čo sa odomňa žiada ale neviem ako sa takýto typ dôkazu formuluje, pomôže mi niekto?

Rumburak

↑ veadet:
Ahoj.

Pole (F, +, *) v algebře je, myslím, jen jiný název pro komutativní těleso. Tj.

(1) (F,+, 0) je komutativní grupa,

(2) (F-{0} , * , 1) je komutativní grupa,

navíc pro libovolná a, b, c patřící do F je

(3) c*(a + b) = c*a + c*b¨,

(4) 0*c = 0 .

Z těchto axiomů by to mělo být dokazatelné. Například:

z rovnosti a + b = a a axiomu (1) postupně plyne

(a + b) + (-a) = a + (-a),

(a + b) + (-a) = 0 .

(-a) + (a + b) = 0 ,

((-a) + a) + b = 0 ,

0 + b = 0 ,

b = 0 .

vanok · 08. 10. 2018 14:55 — Editoval vanok (08. 10. 2018 15:08)

Ahoj ↑ veadet:,
Co sa od teba pyta, nie je nic ine ako dobre pouzitie axiom pola.
Tu ti naznacim ako neformalne dokaz vlasnosti a) mozes zacat. ( no vsak ak treba, formalizacia dokazu je ozaj evidentna).

Pre lubovolne a, b z $\Bbb F$ mame
a+b=a (predpoklad)

Tak vdaka .....( dopln pouzitu vlasnost)
(a+b)+(-a)=a+(-a)
Co da ....
a+(b+(-a))=0
....
a+((-a)+b)=0

Dopln si ho!

Poznamka.
Formalne sa pouzije vzdy cely vyrok aj z kvantifikatormy na kazdej etape dokazu a tiez a za zapisu aj vsetki ekvivalencie .... no to je zbytocne dlhe. Ak chces mozes to tu sam cele napisat ( ale je to otrocina).

vanok · 08. 10. 2018 14:59 — Editoval vanok (08. 10. 2018 15:02)

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Aj ty pises neformalny dokaz, ale iste kolega je schopny ho napisat.

veadet · 08. 10. 2018 15:03

cize to co napisal rumburak je uz v podstate dokaz toho prveho tvrdenia?

vanok · 08. 10. 2018 15:07

↑ veadet:
Ano, je to jeden mozny neformalny dokaz. (I ked by bolo dobre vzdy presne povedat, ktoru vlasnost pouzil na kazdej étape).

veadet · 08. 10. 2018 15:21

no myslim ze tu dvojku a trojku by som mohol urobit podobne ako urobil jednotku rumburak, ale ako tu stvorku spravit?

Rumburak · 08. 10. 2018 15:32

↑ veadet:
Pokud máš na mysli bod d) , potom je potřeba si uvědomit, jak je definován součin Au (v uvedeném pořadí)
matice A se "sloupcovým" vektorem u. Ani tento úkol není těžký, i když příslučný vzorec je složitější.

veadet · 08. 10. 2018 15:44 — Editoval veadet (11. 10. 2018 17:24)

tie prve dve nie su az take tazke ale pri tom cecku tam to treba z oboch stran dokazat?

veadet · 09. 10. 2018 16:01 — Editoval veadet (09. 10. 2018 16:26)

po b) $a\not=0$ a $ab=1 \Rightarrow b=\frac{1}{a}$ delit ackom mozme lebo je nenulove a kedze $a\not=0$ tak aj $\frac{1}{a}=b\not=0$ . Moze byt takto dokaz toho druheho tvrdenia?

c) nech $a\not=0$ vynasobime $/b\not=0$
dostaneme: $ab\not=0$

obdobne: nech $b\not=0$ vynasobime $/a\not=0$
dostaneme: $ab\not=0$ moze byt takto?